Bất đẳng thức vũ trụ là một trong những kiến thức toán học phổ biến, dùng để giải nhiều dạng phương trình, bất phương trình khác nhau cũng như tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức. Trong bài viết này, Team hkmobile.vn sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn những kiến thức về Bất đẳng thức vũ trụ cho 2 số, cho 3 số, dạng tổng quát và hệ quả một số bài tập có đáp án.
>>> Xem thêm: Lý thuyết Bất đẳng thức Đại số lớp 10
Bất đẳng thức Cosi là gì?
Bất đẳng thức vũ trụ là một bất đẳng thức cổ điển trong toán học, xuất phát từ bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM – GM). Phương trình cosic đã được chứng minh bởi nhà toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy. Ngoài cái tên Cosi, nhiều người còn gọi nó là bất đẳng thức Cauchy hay bất đẳng thức AM – GM (viết tắt của Arithmetic Mean and Geometric Mean).
>>> Xem thêm: Bất Đẳng Thức Mincopxki Và Bài Tập Có Đáp Án Chi Tiết
Biểu diễn bất đẳng thức cosic
Bất đẳng thức vũ trụ có thể được thể hiện dưới dạng tổng quát hoặc dưới nhiều dạng đặc biệt khác nhau.
Bất đẳng thức cosic ở dạng tổng quát
- Đối với các số thực không âm xĐầu tiênx2…, xN chúng tôi có thể thực hiện Bất đẳng thức vũ trụ dưới ba hình thức như sau:
\begin{aligned}
&\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{x_!+x_2+...+x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\\
&\bull \textbf{Dạng 2}: x_1+x_2+...+x_n\ge n. \sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\\
&\bull \textbf{Dạng 3}:\left(\frac{x_!+x_2+...+x_n}{n} \right)^n\ge x_1.x_2...x_n
\end{aligned}
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi xĐầu tiên = x2 =… = XN
- Đối với các số thực dương xĐầu tiênx2…, xN Chúng ta có:
\begin{aligned}
&\bull \textbf{Dạng 1}: \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}\\
&\bull \textbf{Dạng 2}: (x_1+x_2+...+x_n)\left( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\right) \ge n^2
\end{aligned}
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi xĐầu tiên = x2 =… = XN
Số phức liên hợp là gì? Thuộc tính và cách tìm số phức liên hợp
Hình thức đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy
Một số đại diện đặc biệt khác của Bất đẳng thức vũ trụ:
Bất bình đẳng Cossi
Từ công thức tổng quát và các dạng đặc biệt, chúng ta có hai hệ quả quan trọng là Bất đẳng thức Cauchy mà bạn nên ghi nhớ dưới đây. Những hệ quả này thường được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức.
- Hệ quả 1: Nếu tổng của hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
- Hệ quả 2: Nếu giữ nguyên tích của hai số dương thì tổng của hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.
Chứng minh Bất đẳng thức Cosic
Chứng minh bất đẳng thức Côsi với 2 số thực không âm
Với hai số thực không âm a và b, ta thấy rằng khi a và b cùng bằng 0 thì biểu thức này luôn đúng. Hiện tại, chúng ta chỉ cần chứng minh Bất đẳng thức vũ trụ luôn đúng với hai số dương a và b.
Bằng chứng là như sau:
\begin{aligned}
&\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\\
&\Leftrightarrow a+b \ge 2\sqrt{ab}\\
&\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge 0\\
&\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge0\text{ (luôn đúng }\forall a,b\ge0)
\end{aligned}
Như vậy, chúng ta đã chứng minh rằng Phương án Cosic luôn đúng với hai số thực không âm.
Chứng minh bất đẳng thức Côsi với 3 số thực không âm
- Với a, b, c đều bằng 0, bất đẳng thức Côsi luôn đúng
- Với a, b, c dương, ta chứng minh đẳng thức cosy như sau:
\begin{aligned}
&\text{Đặt }x=\sqrt[3]a, \ y=\sqrt[3]b,\ z=\sqrt[3]c\\
&\Rightarrow x,y,z\ge0\Rightarrow x+y+z\ge0
\end{aligned}
Lúc này, ta quay lại dạng chứng minh bất đẳng thức 3 số thực dương x, y, z
\begin{aligned}
&(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3-3xyz \ge0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)[(x+y)^2-(x+y)z+z^2]-3xy(x+y+z)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)-3xy(x+y+z)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\ge 0\\
&\Leftrightarrow 2(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz)\ge 0\\
&\Leftrightarrow (x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]\ge 0\text{ (luôn đúng }\forall x,y,z\ge0)\\
\end{aligned}
Khi đó, dấu bằng xảy ra khi x = y = z hoặc a = b = c
Chứng minh bất đẳng thức Cosi cho n số thực không âm
Theo chứng minh Bất đẳng thức vũ trụ Với 2 số dương, biểu thức luôn đúng. Kết quả là, với n = 2 (2 số thực không âm), Phương trình Cosin luôn đúng.
Do đó, để chứng minh rằng bất đẳng thức luôn đúng với n số thì cần chứng minh nó cũng đúng với 2n số. Bằng chứng là như sau:
x_1+x_2+...+x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}+n\sqrt[n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}\ge 2n\sqrt[2n]{x_{n+1}x_{n+2}...x_{2n}}
Bằng quy nạp, bất đẳng thức này đúng với n là lũy thừa của 2.
Cách tính đạo hàm Cos2x và bài tập có đáp án
Giả sử Bất đẳng thức vũ trụ đúng với n số, ta có thể chứng minh nó luôn đúng với n-1 số như sau:
\begin{aligned}
&x_1+x_2+...x_n\ge n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n}\\
&x_n=\frac{s}{n-1} \text{ với }s=x_1+x_2+...+x_n\\
&\Rightarrow s \ge (n-1)\sqrt[n-1]{x_1x_2...x_{n-1}}
\end{aligned}
Phương trình Cosic với 2n số và (n – 1) số luôn đúng, từ đó ta có thể kết luận rằng đẳng thức Cosic với n số thực không âm luôn đúng.
Bài tập áp dụng
Dạng 1: Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi
Cho 3 số dương a, b, c, chứng minh:
\left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1c\right)\left(c+\frac1a\right)\ge 8
Hướng dẫn giải pháp:
Áp dụng phương trình Cosin, ta có:
\begin{aligned}
&a+\frac1b \ge 2\sqrt{\frac{a}{b}}\ ;\ b+\frac1c \ge 2\sqrt{\frac{b}{c}}\ ;\ c+\frac1a \ge 2\sqrt{\frac{c}{a}}\\
&\Leftrightarrow \left(a+\frac1b\right)\left(b+\frac1c\right)\left(c+\frac1a\right)\ge 8\sqrt{\frac{a}{b}}.\sqrt{\frac{b}{c}}\sqrt{\frac{c}{a}}=8\text{ (điều phải chứng minh)}
\end{aligned}
Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ khi a = b = c.
Dạng 2: Phép nhân và phép chia, phép cộng và phép trừ một biểu thức
Cho 3 số thực dương a, b, c, chứng minh rằng:
\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c
Hướng dẫn giải pháp:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
\begin{aligned}
&\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge 2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\ (1)\\
&\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2c\ (2)\\
&\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2a\ (3)\\
&(1)+(2)+(3) \Leftrightarrow2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge 2(a+b+c)\\
&\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\text{ (điều phải chứng minh)}
\end{aligned}
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại hkmobile.vn
Giáo dục hkmobile.vn là Nền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, hkmobile.vn sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.
Tại hkmobile.vn, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.
Giáo dục hkmobile.vn cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.
Hàm lượng giác – Công thức và lý thuyết lượng giác đầy đủ nhất
Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu và nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của hkmobile.vn luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
Nhờ nền tảng học tập livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.
Khi trở thành học viên của hkmobile.vn, bạn cũng sẽ nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và kỹ lưỡng giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.
hkmobile.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, hkmobile.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại hkmobile.vn ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.
Qua bài viết trên, Team hkmobile.vn đã chia sẻ đến các bạn toàn bộ nội dung liên quan đến Bất đẳng thức vũ trụ Văn mẫu lớp 8 lớp 9 gồm các định nghĩa, hệ quả, cách chứng minh cùng với các dạng bài tập thường gặp có đáp án chi tiết. Hi vọng với những kiến thức này, các bạn có thể giải được các bài tập liên quan đến Bất đẳng thức vũ trụ trong các bài kiểm tra toán sắp tới. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!
Nhớ để nguồn: Bất Đẳng Thức Cosi Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết