Trong chương trình toán THPT, chuyên đề bất đẳng thức là một mảng kiến thức “khó” với nhiều dạng bài khác nhau. Để giải các dạng bài này một cách chính xác, học sinh cần biết vận dụng các bất đẳng thức cơ bản một cách hợp lý. Trong đó, Bất đẳng thức Mincopsky được coi là “trợ thủ đắc lực” giúp các em giải các bài toán giải phương trình, bất phương trình chứa nghiệm nguyên hoặc chứng minh bất phương trình. Trong bài viết này, hkmobile.vn sẽ chia sẻ với các bạn nội dung về Bất đẳng thức Mincopsky và các bài tập thực hành.
>>> Xem thêm:
Bất đẳng thức Cosic và các bài tập có đáp án chi tiết
Các dạng bài tập và Bất đẳng thức Toán lớp 10
Giải quyết bất bình đẳng bằng dấu giá trị tuyệt đối
Bất đẳng thức Mincopsky
Hình thức chung
Cho 2 dãy số thực: aĐầu tiênmột2…, mộtN và BĐầu tiênb2…, bNchúng ta luôn luôn có:
\sqrt{a^2_1+b^2_1}\ +\sqrt{a^2_2+b^2_2}\ +...+\sqrt{a^2_n+b^2_n}\ge\sqrt{(a_1+a_2+...+a_n)^2+(b_1+b_2+...+b_n)^2}
Dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi:
\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}
Quy ước: Nếu bĐầu tiên = 0 thì aĐầu tiên = 0, tương tự cho b2, b3, .., bN.
>>> Xem thêm: Tổng hợp đầy đủ và chi tiết các ký hiệu toán học thường gặp
Hình thức cụ thể
Hình thức 1: Cho a, b, c, d ∈ R, ta có:
\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}
Dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi:
\frac{a}{b}=\frac{c}{d}
Dạng 2: Cho a, b, c, d, e, f ∈ R, ta có:
\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}+\sqrt{e^2+f^2}\ge \sqrt{(a+c+e)^2+(b+d+f)^2}
Dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi:
\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}
Các bạn chú ý Bất đẳng thức Mincopsky Nó cũng được coi là hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Cách tìm Tập xác định và điều kiện cấp số nhân
Chứng minh bất đẳng thức Mincopsky
Chứng minh rằng, với mọi a, b, x, y R ta luôn có bất đẳng thức sau:
\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}
Dung dịch:
Bạn bình phương cả hai bên và thực hiện phép biến đổi tương đương:
\begin{aligned}
&\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}\ge \sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}\\
&\Leftrightarrow a^2+x^2+b^2+y^2+2\sqrt(a^2+x^2)(b^2+y^2)\ge a^2+x^2+b^2+y^2+2ab+2xy\\
&\Leftrightarrow 2\sqrt{(a^2+x^2)(b^2+y^2)}\ge 2ab+2xy\\
&\Leftrightarrow \sqrt{(a^2+x^2)(b^2+y^2)}\ge ab+xy \ (*)
\end{aligned}
- Nếu ab + xy 0, thì
- luôn luôn đúng.Nếu ab + xy> 0, thì (một2+ x2) (b2+ y2 ) (ab + xy)2 (bx – ay)
2
≥ 0 luôn đúng.
\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Đặt }\vec{u}=(a;x) \text{ và }\vec{v}=(b;y). \text{ Khi đó }\vec{u}+\vec{v}=(a+b;x+y).\\
&\footnotesize \text{Từ bất đẳng thức véc tơ }|\vec{u}+\vec{v}|\le |\vec{u}|+|\vec{v}| \text{ và công thức độ dài vectơ ta có ngay điều phải chứng minh.}
\end{aligned}
Vậy dấu bằng của đẳng thức xảy ra khi bx = ay. Lưu ý: Bạn cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên bằng cách sử dụng bất đẳng thức vectơ như sau: Nếu áp dụng bất đẳng thức trên hai lần, chúng ta có
\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2}\ge\sqrt{(a+b+c)^2+(x+y+z)^2}
Bất đẳng thức Mincopsky
cho 6 số như sau:
với a, b, c, x, y, z R
Ứng dụng bất đẳng thức Mincopxki để giải bài tập Dạng 1: Giải các bài toán về bất phương trình
Ví dụ: Cho a, b, c> 0 và ab + bc + ca = abc Vui lòng áp dụng bất kỳ
\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\sqrt3
Bình đẳng của Mincopsky
để chứng minh:
ab+bc+ca=abc\Leftrightarrow\frac1a+\frac1b+\frac1c=1
Dung dịch:
\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}=\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{2}{b^2}}+\sqrt{\frac{1}{b^2} + \frac{2}{c^2}}+\sqrt{\frac{1}{c^2} + \frac{2}{a^2}}
Chúng tôi chuyển đổi giả thuyết: Chúng ta có: Sử dụng
\begin{aligned}
&\small\sqrt{\frac{1}{a^2}+\left(\frac{\sqrt2}{b}\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{b^2}+\left(\frac{\sqrt2}{c}\right)^2}+\sqrt{\frac{1}{c^2}+\left(\frac{\sqrt2}{a}\right)^2} \ge \sqrt{\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)^2 +2\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)^2}\\
&\text{Mà: }\frac1a+\frac1b+\frac1c =1 \Rightarrow \frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac} \ge\sqrt3
\end{aligned}
Bất đẳng thức Mincopsky
Chúng ta có:
z=a+bi\ (a,b\in\R) \text{ thỏa mãn } |z-4-3i|=|\overline{z}-2+1|
Dạng 2: Giải bài tập số phức
P = a^2 + b^2 \text{ khi }| z + 1 - 3i | + | z - 1 + i | \text{ đạt giá trị nhỏ nhất.}
Đối với số phức:
Hãy tính giá trị biểu thức:
\small \begin{aligned}
(a-4)^2 + (b-3)^2 &= (a-2)^2 + (1-b)^2 ⇔ b = 5-a\\
|z+1-3i|+|z-1+i|&=\sqrt{(a+1)^2+(b-3)^2}+\sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2}\\
&=\sqrt{(a+1)^2+(2-a)^2}+\sqrt{(a-1)^2+(6-a)^2}\\
&=\sqrt{2a^2-2a+5}+\sqrt{2a^2-14a+37}\\
&=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt2}-\sqrt2a \right)^2+\left(\sqrt{\frac92}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt2a-\frac{7}{\sqrt2}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{25}{2}}\right)^2}\\
&=\sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt2}-\sqrt2a+\sqrt2a-\frac{7}{\sqrt2} \right)^2+ \left(\sqrt{\frac92}+\sqrt{\frac{25}{2}} \right)^2}=5\sqrt2
\end{aligned}
Dung dịch:
\frac{\frac{1}{\sqrt2}-\sqrt2a}{\sqrt2a-\frac{7}{\sqrt2}}=\frac{\sqrt{\frac92}}{\sqrt{\frac{25}{2}}}\Leftrightarrow
\begin{cases}a=\frac{13}{8}\\b=\frac{27}{8}\end{cases} \Rightarrow P=\frac{13^2+27^2}{8^2}=\frac{449}{32}
Từ giả định, chúng ta có:
Dấu bằng xảy ra khi:Dạng 3: Giải bài tập hình học tọa độ Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)2 + (y – 1)2 + z
2= 25 và 2 điểm A (7; 9; 0), B (0; 8,0). Điểm M là một điểm chuyển động trên mặt cầu (S). Hãy tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: MA + 2MB.
Lý thuyết hàm số mũ và logarit | Sách giáo khoa Toán lớp 12Dung dịch: Với M (x; y; z) (S) (x – 1)2 + (y – 1)2 + z
2
\small \begin{aligned}
MA+2MB&=\sqrt{(x-7)^2+(y-9)^2+z^2}+2\sqrt{x^2+(y-8)^2+z^2}\\
&=\sqrt{(x-7)^2+(y-9)^2+z^3+3[(x-1)^2+(y-1)^2+z^2-25]}+2\sqrt{x^3+(y-8)^2+z^2}\\
&=2\left[\sqrt{\left(\frac52-x \right)^2+(3-y)^2+(-z)^2}+\sqrt{x^2+(y-8)^2+z^2}\right]\\
&\ge 2\sqrt{\left( \frac52-x+x\right)^2+(3-y+8-y)^2+(-z+z)^2}=5\sqrt5
\end{aligned}
= 25
\begin{cases} \frac{\frac52-x}{x}=\frac{3-y}{y-8}=k >0\\ z=0\\ (x-1)^2+(y-1)^2+z^2=25 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} x=1\\ y=6\\z=0\end{cases}\Leftrightarrow M(1;6;0)
Sau đó:
Dấu bằng xảy ra khi: Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại hkmobile.vn Giáo dục hkmobile.vn là
Nền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, hkmobile.vn sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.Tại hkmobile.vn, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ
TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc . Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến thức nhanh chóng và dễ dàng. Giáo dục hkmobile.vn cũng có sẵn
Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu và nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của hkmobile.vn luôn được đảm bảo
Đường truyền ổn định với tính năng chống giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
Tổng hợp đạo hàm log, logarit, căn bậc hai, căn x, công thức lượng giác Nhờ nền tảng học tập livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường. Khi trở thành học sinh của hkmobile.vn, bạn cũng nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học
được biên soạn cẩn thận, chi tiết và kỹ lưỡng
giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.
hkmobile.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, hkmobile.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại hkmobile.vn ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K. Như vậy, bài viết này của hkmobile.vn đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức Mincopsky. Với những bài tập cụ thể hi vọng có thể giúp các em biết cách vận dụng
Bất đẳng thức Mincopsky khi làm bài tập. Các em hãy dựa vào hướng dẫn trên để luyện tập và nắm vững các dạng toán bất đẳng thức liên quan.
Nhớ để nguồn: Bất Đẳng Thức Mincopxki Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết