Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit – Lý Thuyết Toán 12

Bất đẳng thức mũ và lôgarit là hai lý thuyết cơ bản mà bạn cần nắm vững vì những kiến ​​thức này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và đề thi đại học. Đặc biệt bất đẳng thức mũ và bất đẳng thức logarit Lý thuyết là gì và dạng bài tập nào? Hãy cùng bangtuanhoan.edu.vn tìm hiểu trong bài viết sau đây.

>>> Xem thêm: Bất đẳng thức Toán lớp 10 và Các dạng bài tập

Lý thuyết về bất đẳng thức logarit và hàm mũ

Bất đẳng thức hàm mũ cơ bản

Bất đẳng thức hàm mũ có dạng cơ bản^x > b (hoặc a^x ba^x x ≤ b). Trong đó a, b là 2 số đã cho, a> 0 và a ≠ 1.

Các em sẽ giải các bất đẳng thức cơ bản về hàm số mũ bằng cách sử dụng lôgarit và sử dụng tính chất đơn điệu của các hàm số lôgarit. Chúng tôi coi một bất đẳng thức có dạng^x > b như sau:

• Nếu b 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là D = R vì a^x > 0 ≥ b, ∀x ∈ R.
• Nếu b> 0 thì bất đẳng thức tương đương với a^x > a^{khúc gỗ_mộtb}.
  • Với a> 1, nghiệm của bất phương trình là x> log_mộtb.
  • Với 0 mộtb.

• a> 1, chúng tôi có nhật ký_mộtx> b ⇔ x> a^b
• 0 mộtx> b ⇔ 0 b

• Nếu a> 1 thì a^x > a^một ⇔ x> a.
• Nếu 0 mộtx> nhật ký_mộta ⇔ 0

>>> Xem thêm: Cách giải phương trình logarit nhanh và chính xác nhất

Cách giải bài tập bất phương trình mũ và logarit

Sau khi tìm hiểu lý thuyết cơ bản, chúng ta sẽ thực hành dưới dạng bài tập để góp phần củng cố lại kiến ​​thức đã học.

Cách giải bất đẳng thức mũ

• Dạng 1: Phương thức trả về cùng một cơ sở

a ^ {f (x)}> a ^ {g (x)} \ Leftrightarrow \ left[ \begin{array}{c}
\begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x) \end{cases}\\
\begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x) \end{cases}
\end{array} \right.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình mũ 2^-x2+3x < 4 

\begin{aligned} &2^{-x^2+3x}<2^2 ⇔ -x^2 + 3x < 2 ⇔ x^2 - 3x + 2 > 0 ⇔ x < 1 \text{ hoặc }x > 2\\
& \text{Vậy S = }(-∞; 1) ∪ (2; +∞). \end{aligned}

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau:

\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \frac79 

\begin{aligned} &\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \frac79\\ ⇔\ &\left(\frac79\right)^{2x^2-3x} \ge \left(\frac79\right)^1  \\⇔\ &2x^2 - 3x ≤ 1 \\⇔\ &2x^2 - 3x + 1 ≤ 0 \\⇔\ &12 ≤ x ≤ 1\\
&\text{Vậy S = }[12 ;1].  \ end {căn chỉnh}

• Dạng 2: Phương pháp làĐặt ẩn phụ

aa^{2f (x)} + βa^{f (x)} + = 0. Đặt t = a^{f (x)}(t> 0).

Ví dụ: Giải quyết vấn đề 4. bất bình đẳng^x – 3.2^x + 2> 0.

Đặt t = 2^x (t> 0), chúng ta nhận được bất đẳng thức:

t² – 3t + 2> 0 0 2 0 <2^x <1 hoặc 2^x > 2 ⇔ x < 0 or x > 1.

Vậy S = (-∞; 0) Ս (1; + ∞).

• Dạng 3: Phương pháp lôgarit

\ begin {align} & a ^ {f (x)}> b \ Leftrightarrow \ left[ \begin{array}{c}
\begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< log_ab \end{cases}\\
\begin{cases} a>1 \\ f(x)> log_ab \end{cases}
\end{array} \right.\\
&a^{f(x)}>b^{g(x)} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x).log_ab \end{cases}\\
\begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x).log_ab \end{cases}
\end{array} \right.
\end{aligned}

Ví dụ: Giải bất phương trình 2^x-1 > 3

2^x-1 > 3 ⇔ log₂2^x-1 > log₂3 ⇔ x – 1 > log₂3 ⇔ x > log₂3 + 1 ⇔ x > log₂6

Vậy S = (log₂6; +∞).

Cách giải bất phương trình lôgarit

• Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

log_af(x)>log_ag(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c}
\begin{cases} 0< a <1 \\ f(x)< g(x)\end{cases}\\
\begin{cases} a>1 \\ f(x)> g(x) \end{cases}
\end{array} \right.\\

Ví dụ 1: Giải bất phương trình logarit log₈(4 – 2x) ≥ 2.

  Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ: Lý Thuyết Và Giải Bài Tập

log₈(4 – 2x) ≥ 2 ⇔ 4 – 2x >= 8² ⇔ 2x ≤ -60 ⇔ x ≤ -30. 

Vậy S = (-∞; -30]

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình log_0,5(3x – 5)> log_0,5 (x + 1).

\begin{aligned}
&log_{0,5}(3x - 5) > log_{0,5} (x + 1) \\
⇔\ &\begin{cases}3x - 5>0\\ 3x - 5< x + 1\end{cases}\\
⇔\ &\begin{cases}x>\frac53\\ x<3\end{cases}\\
⇔\ &\frac53 < x <3\\
&\text{Vậy S }= \left(\frac53; 3\right).
\end{aligned}

• Dạng 2: Phương pháp lũy thừa

Với 0

khúc gỗ_mộtf (x) = g (x) f (x) = a^{g (x)}

\begin{aligned}
&log_5(5^x - 4 ) = 1 - x\\
&\text{ĐK: }5^x-4>0 ⇔x>log_54\\
⇔\ &log_5(5x - 4 ) = 1 - x ⇔ 5^x-4 = 5^{1- x}\\
⇔\ &\begin{cases} t=5^x>0 \\ t-4=\frac5t\end{cases}\\
⇔\ &\begin{cases} t=5^x \\ t^2-4t-5=0\end{cases}\\
⇔\ &\begin{cases} t=5^x \\ t=5\end{cases}⇔x=1\\
&\text{Vậy phương trình có nghiệm là }x=1
\end{aligned}

\text{Giải bất phương trình}\space 2^x+2^{-x}-3 < 0

\begin{aligned}
&\text{Đặt}\space 2^x=1.\space ĐK:t>0.\space \text{Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình}:\\
& t+\frac{1}{t}-3<0\\
&\Leftrightarrow \frac{t^2-3t+1}{t}<0\\
&\Leftrightarrow  t^2-3t+1<0 (do\space t>0)\\
&\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt5}{2} < t <\frac{3-\sqrt5}{2}\\
&\Leftrightarrow log_2\frac{3-\sqrt5}{2}< x< log_2\frac{3+\sqrt5}{1}
\end{aligned}

\begin{aligned}
& 2^{-x^2+3x}<4\\
&\Leftrightarrow 2^{-x^2+3x}<2^2\\
&\Leftrightarrow -x^2+3x<2\\
&\Leftrightarrow x^2-3x+2>0\\
&x<1\space hoặc\space x>2
\end{aligned}

\begin{aligned}
&\bigg(\frac{7}{9}\bigg)^{2x^2-3x}\ge\frac{9}{7}\\
&\Leftrightarrow2x^2-3x\le log_{\frac{7}{9}} \bigg(\frac{9}{7}\bigg)\\
&\Leftrightarrow2x^2-3x\le -1\\
&\Leftrightarrow2x^2-3x+1\le 0\\
&\Leftrightarrow\frac{1}{2}\le x\le1

\end{aligned}

\begin{aligned}
&4^x-3.2^x+2>0\\
&\Leftrightarrow (2^x)^2 -3.2x+2>0\\
&\text{Bất phương trình bậc 2 ẩn}\space 2^x\\
&\Leftrightarrow 2^x>2\space hoặc\space 2^x<1\\
&\Leftrightarrow x>1\space hoặc\space x>0\\
&\text{Vậy bất phương trình có tập nghiệm} S=(-\infin;0)U(1,+\infin)
\end{aligned}

Cách tìm Đạo hàm Sin2x. Bài tập thực hành có đáp án

Giáo dục bangtuanhoan.edu.vn cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu và nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của bangtuanhoan.edu.vn luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên của bangtuanhoan.edu.vn, bạn cũng sẽ nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và kỹ lưỡng giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến ​​thức dễ dàng hơn.

bangtuanhoan.edu.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, bangtuanhoan.edu.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại bangtuanhoan.edu.vn ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Trên đây là chia sẻ về những kiến ​​thức cơ bản về bất đẳng thức mũ và bất đẳng thức logarit và cách giải quyết các vấn đề chung. Hi vọng với những thông tin hữu ích này sẽ giúp các em có thêm tự tin trong học tập môn Toán. Chúc các bạn học tập đạt kết quả cao và đạt được nhiều thành tích tốt!

Nhớ để nguồn: Bất Phương Trình Mũ Và Bất Phương Trình Lôgarit – Lý Thuyết Toán 12