Tổ hợp xác suất có thể coi là phần “khó” của chương trình Toán đại số lớp 3. Dạng toán này bao gồm nhiều quy tắc cần ghi nhớ và nhiều dạng bài tập liên quan. Để giúp các em dễ hình dung và dễ hiểu về kết hợp xác suấtĐồng thời biết thêm phương pháp giải bài tập nhanh và chính xác, hkmobile.vn đã tổng hợp và chia sẻ đến các bạn bài viết dưới đây.
Các quy tắc kết hợp xác suất cần nhớ
Đây là một số quy tắc kết hợp xác suất mà các em cần ghi nhớ để có thể vận dụng giải bài toán xác suất một cách hiệu quả.
Quy tắc bổ sung
Định nghĩa: Một công việc cụ thể có thể được thực hiện theo 2 phương án khác nhau, A và B. Nếu phương án A có m làm thế nào để làm điều đó và tùy chọn B có N cách thực hiện và không có sự trùng lặp với bất kỳ phương pháp nào trong tùy chọn A, khi đó chúng tôi có thể xác nhận rằng công việc là m + n đang làm.
Công thức: Trong trường hợp tập hợp AĐầu tiênMột2…, MỘTN xa nhau đôi một. Sau đó:
| AĐầu tiên Một2 … MỘTN | = | AĐầu tiên| + | A2| + + | AN|
Quy tắc nhân
Định nghĩa: Một công việc nhất định bao gồm hai giai đoạn A và B. Trong trường hợp giai đoạn A có m làm thế nào để làm điều đó và đối với mỗi cách này, có N nó được thực hiện như thế nào trong giai đoạn B, chúng ta có thể kết luận rằng công việc sẽ có mn đang làm.
Công thức: Nếu các bộ AĐầu tiênMột2…, MỘTN xa nhau đôi một. Sau đó:
| AĐầu tiên Một2 … MỘTN | = | AĐầu tiên|. | A2|… | AN|
Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến cố A và B loại trừ nhau thì P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
- Mở rộng quy tắc cộng xác suất: Cho k sự kiện AĐầu tiênMột2Một3… MỘTk đôi một trong xung đột. Sau đó:
P (A.)Đầu tiên Một2 Một3 … MỘTk) = P (AĐầu tiên) + P (A2) + P (A3) +… + P (Ak)
\footnotesize P(\overline{A}) = 1 - P(A)
Giả sử rằng A và B là hai sự kiện tùy ý liên quan đến một phép thử cụ thể, thì: P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
Quy tắc nhân xác suất
- Chúng ta có thể khẳng định rằng hai sự kiện A và B sẽ độc lập nếu và chỉ khi sự xuất hiện (hoặc không xảy ra) của A không ảnh hưởng đến xác suất của B.
- Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P (AB) = P (A) .P (B).
>>> Xem thêm: Quy tắc đếm – Lý thuyết Và Bài tập Toán 11
Các dạng bài tập tổ hợp xác suất và cách giải
Để giúp các em hình dung cách áp dụng các quy tắc tính toán xác suất vào bài tập kết hợp xác suấthkmobile.vn chia sẻ với các bạn một số dạng câu hỏi thường gặp về xác suất được giải chi tiết dưới đây.
Dạng 1: Đếm số phương án
Để có thể đếm số phương án của nhiệm vụ H theo quy tắc nhân, chúng ta cần phân tích nhiệm vụ H được chia thành các giai đoạn H.Đầu tiênH2,…, HN và đếm số cách thực hiện mỗi giai đoạntôi (i = 1, 2,…, n).
Lý Thuyết Toán 10 Dấu Hiệu Của Tam Thức bậc Hai Và Cách Xét Dấu Hiệu
Trong thực tế, chúng ta thường gặp bài toán đếm số phương án để thực hiện hành động H thỏa mãn tính chất T. Để giải bài toán này, chúng ta thường giải theo hai cách:
Phương pháp 1: Đếm trực tiếp
- Chúng ta tiến hành nhận xét bài toán để từ đó phân ra các trường hợp xảy ra cho bài toán được tính.
- Sau đó, chúng tôi đếm số lượng các giải pháp khả thi trong mỗi trường hợp đó.
- Kết quả của bài toán sẽ được tính bằng tổng số các phương án đếm trong trường hợp trên.
Phương pháp 2: Đếm gián tiếp (đếm bổ sung)
Nếu hành động H chia nhiều trường hợp, ta thực hiện đếm phần bù của bài toán như sau:
- Đếm số phương án để thực hiện hành động (bất kể phương án có thỏa mãn tính chất T hay không), chúng ta nhận được a.
- Đếm số phương án để thực hiện hành động H không thỏa mãn tính chất T, ta được b phương án.
- Khi đó số nghiệm thỏa mãn bài toán là a – b.
Ví dụ: Từ thành phố A đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết rằng phải đi qua thành phố B?
Dung dịch: Ta có, đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 6 con đường phải đi. Với mỗi con đường đi từ thành phố A đến thành phố B, ta tiếp tục có 7 cách đi từ thành phố B đến thành phố C. Vậy, ta có 6,7 = 42 cách đi từ thành phố A đến thành phố C.
Dạng 2: Sắp xếp vị trí công việc và hình học
Để giải quyết vấn đề kết hợp xác suất Về vị trí trong bài làm và hình học, các em cần vận dụng linh hoạt các quy tắc cộng, quy tắc nhân cũng như các khái niệm về hoán vị, liên hợp, tổ hợp, đếm gián tiếp và đếm phần bù.
Dưới đây là một số dấu hiệu giúp bạn nhận biết loại bài nào có thể dùng hoán vị, loại bài nào có thể dùng hoán vị hoặc kết hợp.
1) Các dấu hiệu đặc trưng giúp ta nhận biết một hoán vị của n phần tử là:
- Tất cả n phần tử phải có mặt.
- Mỗi phần tử xuất hiện một lần.
- Có thứ tự giữa các phần tử.
2) Chúng tôi sẽ sử dụng khái niệm căn chỉnh khi:
- Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần.
- K phần tử đã cho có thứ tự.
3) Khái niệm tổ hợp được áp dụng khi:
- Cần chọn k phần tử từ n phần tử, mỗi phần tử xuất hiện một lần.
- Không phụ thuộc vào thứ tự của k phần tử được chọn.
Ví dụ 1: Đội tuyển HSG của trường có 18 học sinh, trong đó, có 7 học sinh lớp 12, 6 học sinh lớp 11 và 5 học sinh lớp 10. Có bao nhiêu cách cử 8 học sinh đi dự đại hội sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn.
Dung dịch:
\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Số cách chọn 8 học sinh trong 18 em học sinh nêu trên là: }C^8_{18}\\
&\footnotesize \bull \text{Số cách chọn 8 học sinh có ở trong 2 khối là: }C_{13}^8+C_{11}^8+C_{12}^8=1947\\
&\footnotesize \bull \text{Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: }C_{18}^8-1947=41811\\
\end{aligned}
Ví dụ 2: Hai nhóm người có nhu cầu mua nhà. Nhóm thứ nhất có 2 người và họ muốn mua 2 mảnh đất liền nhau, nhóm thứ hai có 3 người và họ muốn mua 3 mảnh đất liền nhau. Họ phát hiện một khu đất được chia thành 7 lô để bán (những lô đất giống nhau và không có người mua). Tính số cách chọn nền của mỗi người thoả mãn yêu cầu trên.
Phương trình lượng giác cơ bản và các dạng bài tập có lời giải
Dung dịch:
Xem đất nền có 4 vị trí gồm 2 vị trí 1 lô, 1 vị trí 2 ô và 1 vị trí 3 ô.
- Bước 1: Nhóm đầu tiên chọn 1 vị trí cho 2 nền có 4 cách và mỗi cách sẽ có 2! = 2 cách chọn phông nền cho mỗi người. Vậy có 4,2 = 8 cách chọn nền.
- Bước 2: Nhóm thứ hai chọn 1 trong 3 vị trí còn lại cho 3 hình nền có 3 cách và mỗi hình 3 cách! = 6 cách chọn nền cho mỗi người.
Vậy có 3,6 = 18 cách chọn nền.
Vậy có tổng cộng 8.18 = 144 cách chọn phông nền cho mỗi người.
>>> Xem thêm: Hoán vị, Hợp, Tổ hợp – Lý thuyết Và Bài tập Toán 11
Dạng 3: Xác định thử nghiệm, không gian mẫu và sự kiện
Ở dạng toán kết hợp xác suất Trong trường hợp này, bạn sẽ thường áp dụng 2 giải pháp như sau:
Cách 1: Tính xác suất bằng quy tắc cộng
Phương pháp: Ta sử dụng quy tắc đếm và công thức cho biến cố ngược lại, công thức cho biến cố hợp.
♦ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) trong đó A và B là các biến cố loại trừ lẫn nhau.
♦ P (A) = 1 – P (A)
Cách 2: Tính xác suất bằng quy tắc nhân
Phương pháp: Chúng tôi áp dụng quy tắc nhân bằng cách:
♦ Chứng minh rằng A và B độc lập
♦ Áp dụng công thức: P (AB) = P (A) .P (B).
Ví dụ: Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 2 viên bi vàng và 1 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi để tính xác suất để biến cố A: “2 viên bi cùng màu”.
Dung dịch: Gọi lần lượt các sự kiện như sau D: “được 2 bi đỏ”; X: “lấy 2 quả bóng màu xanh lá cây”; V: “lấy 2 quả bóng vàng”. Ta có D, X, V là các sự kiện loại trừ lẫn nhau và C = D ∪ X ∪ V.
P(C)=P(D)+P(X)+P(V)=\frac25+\frac{C_3^2}{45}+\frac{1}{15}+\frac29.
>>> Xem thêm: Trắc nghiệm và Sự kiện – Lý thuyết Và Bài tập Toán 11
Loại 4: Tính xác suất dựa trên định nghĩa
- Khi tính toán xác suất theo thống kê, chúng tôi áp dụng công thức:
P(A)=\frac{\text{Số lần xuất hiện của biến cố A}}{N}
- Trong trường hợp chúng ta cần tính xác suất của một sự kiện theo định nghĩa cổ điển, chúng ta sử dụng công thức:
P(A)=\frac{n(A)}{N(Q)}
Ví dụ: Trong một hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi đỏ, 7 viên bi xanh và 5 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tìm xác suất để cả 3 bi rút ra đều có màu đỏ.
Dung dịch:
\begin{aligned}
&\footnotesize\text{Gọi biến cố A: "3 viên bi lấy ra đều màu đỏ"}\\
&\footnotesize \text{Số cách lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là: }C_{20}^3\\
&\footnotesize \text{Từ đây, ta có: }|\Omega|=C_{20}^3=1140\\
&\footnotesize \text{Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ là: }C_8^3=56 \text{ nên } |\Omega_A|=56\\
&\footnotesize \text{Do đó: }P(A)=\frac{|\Omega_a|}{|\Omega|}=\frac{56}{1140}=\frac{14}{285}
\end{aligned}
Dạng 5: Tính tổng bằng nhị thức Newton
Cuối cùng, dạng toán kết hợp xác suất Một điều khác bạn cần biết là tổng bằng cách sử dụng nhị thức Newton.
- Phương pháp 1: Dựa vào khai triển nhị thức Newton
(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b^1+C_n^2a^{n-2}b^2+...+C_n^nb^n
Ta tiến hành chọn các giá trị a, b thích hợp để thay vào công thức trên.
Một số kết quả thường được sử dụng:
\begin{aligned}
&\bull C_n^k=C_n^{n-k}\\
&\bull C_n^0+C_n^1+C_n^2+....+C_n^n=2^n\\
&\bull \sum^n_{k=0}C_{2n}^{2k}=\sum^n_{k=0}C_{2n}^{2k-1}=\frac12\sum^n_{k=0}C_{2n}^k\\
&\bull\sum^n_{k=0}C_n^ka^k=(1+a)^n
\end{aligned}
- Phương pháp 2: Dựa vào đẳng thức đặc trưng:
- Chìa khóa của giải pháp trên là tìm ra đẳng thức
- và tôi thường gọi
là đẳng thức đặc trưng.Lời giải trên được trình bày bằng cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa k) và biến đổi số hạng đó với hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn. .
Bí Quyết Học Tốt Toán 12 Và Đạt Điểm Cao Trong Kỳ Thi Đại Học
C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+....+2^nC_n^n=243
Ví dụ:
Tìm số nguyên dương n sao cho:
(1+x)^n=C_n^0+xC_n^1+x^2C_n^2+....+x^nC_n^n
Dung dịch:
C_0^+2C_n^1+4C_n^2+....+2^nC_n^n=3^n.
Sự phát triển:Giả sử x = 2, chúng ta nhận được: Từ đây, ta suy ra 3N = 243 = 3
5
n = 5 Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại hkmobile.vn Giáo dục hkmobile.vn là
Nền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, hkmobile.vn sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.Tại hkmobile.vn, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ
TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc . Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến thức nhanh chóng và dễ dàng. Giáo dục hkmobile.vn cũng có sẵn
Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu và nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của hkmobile.vn luôn được đảm bảo
Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất
. Nhờ nền tảng học tập livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường. Khi trở thành học sinh của hkmobile.vn, bạn cũng nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học
được biên soạn cẩn thận, chi tiết và sắp xếp hợp lý
giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.
hkmobile.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, hkmobile.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại hkmobile.vn ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.
Tổ hợp xác suất Đây là phần kiến thức quan trọng “không dễ tiêu” như trong chương trình đại số THPT. Hi vọng sau khi đọc xong bài viết này, các bạn sẽ nắm vững lý thuyết của chuyên đề này và vận dụng vào giải bài tập. tập thể dục hiệu quả. Chúc các bạn luôn học tốt và đạt năng suất cao trong học tập!
Nhớ để nguồn: Các Dạng Bài Tập Tổ Hợp Xác Suất Và Cách Giải Nhanh, Chính Xác Nhất