Tích hợp các chức năng ẩn Đây là dạng toán được các em học trong chương trình Toán Giải Tích 12. Mặc dù đã học qua nhưng nhiều học sinh vẫn gặp khó khăn khi giải bài toán này. Để giúp các em tự tin hơn khi học nội dung này, Tiểu Học Đông Hòa B sẽ chia sẻ với các em những kiến thức về tích phân tích phân và các phương pháp giải chi tiết các dạng toán liên quan.
Một tích phân hàm ẩn là gì?
Tích hợp các chức năng ẩn là dạng tích phân mà hàm ẩn. Bài kiểm tra sẽ không hiển thị cho bạn biết hàm cần tính toán là gì mà chỉ hiển thị một số điều kiện có sẵn. Để giải được dạng toán này, các em cần tư duy nhiều hơn trong quá trình giải bài và nắm vững các cách giải cơ bản.
Các dạng tích phân hàm ẩn và phương pháp giải
Dạng 1: Phương pháp sử dụng quy tắc và đạo hàm của hàm hợp
Quy tắc 1:
Nếu u = u (x) và v = v (x) thì (uv) ‘= u’v + uv’
Nếu [f(x).g(x)]’= h (x) thì f (x) .g (x) = ∫h (x) dx.
Hình minh họa:
Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; + ∞) và thỏa mãn điều kiện f (1) = 3, x (4 – f ‘(x)) = f (x) – 1 với mọi x> 0. Hãy tính giá trị của f (2).
Dung dịch:
x (4 – f ‘(x)) = f (x) – 1 ⟹ xf’ (x) + f (x) = 4x + 1
[xf(x)]’= 4x + 1
⟹ xf (x) = (4x + 1) dx
⟹ xf (x) = 2x2 + x + C
Ta có: f (1) = 3 C = 0
⟹ f (x) = 2x + 1
⟹ f (2) = 5
Quy tắc 2:
\footnotesize \text{Nếu }u=u(x) \text{ và }v=v(x) \text{ thì }\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \text{ với }v\not=0. \text{ Nếu} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=h(x)\text{ thì }\frac{f(x)}{g(x)}=\int h(x)dx.
Hình minh họa:
\footnotesize \text{Cho hàm số }f(x)\text{ thỏa mãn }f(2)=-\frac29 \text{ và } f'(x)=2x[f(x)]^2, \ \forall x\in\R. \text{ Các em hãy tính giá trị của }f(1).
Dung dịch:
\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Ta có:}\\
&\footnotesize f'(x)=2x[f(x)]^2\\
&\footnotesize \Leftrightarrow\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}=2x\\
&\footnotesize \Leftrightarrow\left[\frac{1}{f(x)}\right]'=-2x\\
&\footnotesize \Leftrightarrow\frac{1}{f(x)}=-\int2xdx\\
&\footnotesize \Leftrightarrow\frac{1}{f(x)}=-x^2+C\\
&\footnotesize \text{Lại có:}\\
&\footnotesize f(2)=\frac29\Rightarrow C=-\frac12 \Rightarrow \frac{1}{f(x)}=-x^2-\frac12 \Rightarrow f(1)=-\frac23
\end{aligned}
Quy tắc 3:
\footnotesize \text{Nếu }u=u(x) \text{ thì } (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\text{ với }u>0.\text { Nếu } \left[\sqrt{f(x)}\right]'=h(x) \text{ thì } \sqrt{f(x)}=\int h(x)dx.
Hình minh họa:
\begin{aligned}
&\footnotesize \text{ Cho hàm số }f(x)\text{ đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn: }\\
&\footnotesize f'(x)=2\sqrt{f(x)} \ \forall x\in[0;1] \text{ và } f(0)=1\\
&\footnotesize \text{Các em hãy tính tích phân của hàm số:} \intop_0^1f(x)dx\\
\end{aligned}
Dung dịch:
\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Ta có:}\\
&\footnotesize f'(x)=2\sqrt{f(x)} \\
&\footnotesize\Leftrightarrow\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}=1\\
&\footnotesize\Leftrightarrow\left(\sqrt{f(x)}\right)'=1 \\
&\footnotesize \Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=\int dx \Leftrightarrow \sqrt{f(x)}=x+C\\
&\footnotesize \text{Lại có:}\\
&\footnotesize f(0)=1 \Rightarrow C=1 \Rightarrow f(x)=(x+1)^2 \Rightarrow \intop_0^1(x+1)^2dx=\left.\frac13(x+1)^2\right|^1_0=\frac73
\end{aligned}
Quy tắc 4:
7 cách học tốt môn toán đơn giản mà hiệu quả mà ai cũng có thể áp dụng
Nếu u = u (x) thì (eu) ‘= u’.eu
Nếu (ef (x)) ‘= g (x) thì ef (x) = g (x) dx
Hình minh họa:
\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Cho hàm số } f(x) \text{ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn }f(0)=1 \text{ và } f'(x).e^{f(x)-x^2-1}=2x \ \forall x\in[0;1].\\
&\footnotesize \text{Tính giá trị của }\intop^1_0f(x)dx.
\end{aligned}
Dung dịch:
\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Ta có: }\\
&\footnotesize f'(x).e^{f(x)-x^2-1}=2x\\
\Leftrightarrow &\footnotesize f'(x)e^{f(x)}=2x.e^{x^2+1}\\
\Leftrightarrow &\footnotesize\left(e^{f(x)}\right)'=2x.e^{x^2+1}\\
\Leftrightarrow &\footnotesize e^{f(x)}=\int 2x.e^{x^2+1}\\
\Leftrightarrow &\footnotesize e^{f(x)}=e^{x^2+1}+C\\
&\footnotesize \text{Lại có:} f(0)=1 \Rightarrow C=0 \Rightarrow e^{f(x)}=e^{x^2+1} \Rightarrow f(x)=x^2+1\\
&\footnotesize \text{Do vậy:}\intop_0^1f(x)dx=\intop_0^1(x^2+1)dx=\left.\left(\frac13x^3+x\right)\right|^1_0=\frac43
\end{aligned}
Quy tắc 5:
\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Nếu }u=u(x) \text{ nhận giá trị dương trên K thì }[lnu]'=\frac{u,}{u} \text{ trên K. }\\
&\footnotesize \text{Nếu } [ln(f(x))]'=g(x) \text{ thì } ln(f(x))=\int g(x)dx.
\end{aligned}
Hình minh họa:
\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Cho hàm số }y=f(x) \text{ có đạo hàm và liên tục trên đoạn [-1;1], thỏa mãn }f(x)>0\ \forall x\in\R \text{ và } f'(x)+2f(x)=0.\\
&\footnotesize \text{Biết }f(1)=1, \text{ tính }f(-1).
\end{aligned}
Dung dịch:
\begin{aligned}
&\bull \footnotesize f'(x)+2f(x)=0\\
&\footnotesize \Leftrightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=-2\\
&\footnotesize \Leftrightarrow \intop_{-1}^1\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\intop_{-1}^1-2dx\\
&\footnotesize \Leftrightarrow \intop_{-1}^1\frac{df(x)}{f(x)}=-4\\
&\footnotesize \Leftrightarrow lnf(x)|^1_{-1}=-4\\
&\bull \footnotesize ln\frac{f(1)}{f(-1)}=-4 \Leftrightarrow \frac{f(1)}{f(-1)}=e^{-4}\Leftrightarrow f(-1)=f(1).e^{4} =e^{4}
\end{aligned}
Loại 2: Phương pháp sử dụng định nghĩa nguyên hàm và tích phân
Dạng toán học này của tích phân tích phân từ thuộc tính sau của các nguyên thủy:
f ‘(x) dx = f (x) + C
Trong công thức này, bạn sẽ biết f ‘(x) (hàm ẩn trong f’ (x)) và chưa biết hệ số C nhưng đã biết một số giá trị của f (x). Lúc này, bài toán sẽ yêu cầu bạn tính giá trị nào đó của f (x).
Để giải toán tích phân tích phân Bạn có thể sử dụng một trong hai cách sau:
- Cách 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất của nguyên hàm để xác định f (x) + C. Tiếp theo, sử dụng các giá trị đã biết của f (x) để xác định hệ số C, cuối cùng là tính giá trị cần tìm.
- Cách 2: Nếu hàm số đã cho có tích phân trên [a;b] Sử dụng công thức tích phân để tính giá trị.
Hình minh họa:
Cho hàm số f (x) xác định trên R và có đạo hàm thỏa mãn f ‘(x) = 2x + 3, f (1) = 0. Hãy tính f (2).
Dung dịch:
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa nguyên thủy
Bất đẳng thức Toán lớp 10: Các dạng bài tập và cách giải
Ta có: f (x) = f ‘(x) dx = (2x + 3) dx = x2 + KÍCH THƯỚC + 3x
Mà f (1) = 0 nên C = -4
=> f (x) = x2 + 3x – 4
Vậy: f (2) = 6
Phương pháp 2: Sử dụng định nghĩa tích phân
\begin{aligned}
&\footnotesize \intop_1^2f'(x)dx=f(x)|^2_1=f(2)-f(1)=f(2)\\
&\footnotesize \intop_1^2f'(x)dx=\intop^2_1(2x+3)dx=6\\
&\footnotesize \text{Vậy } f(2)=6
\end{aligned}
Dạng 3: Phương pháp biến
Nếu trong bài tập tích phân tích phân nhưng tích phân cần tính có ràng buộc khác với tích phân trong giả thiết, bạn nên áp dụng phương pháp đổi biến số để giải.
Hình minh họa:
\footnotesize \text{Biết rằng: }\intop_3^{13}f(x)dx=16. \text{ Tính }J=\intop^6_1(2x+1)dx
Dung dịch:
\begin{aligned}
&\footnotesize J=\intop^6_1f(2x+1)dx=\frac12\intop^6_1f(2x+1)d(2x+1)\\
&\footnotesize \text{Đặt }u=2x+1\\
&\footnotesize\Rightarrow \frac12\intop^6_1f(2x+1)d(2x+1) =\frac12\intop^{13}_3f(u)du=8
\end{aligned}
Dạng 4: Phương pháp tích hợp theo bộ phận
Nếu vấn đề chứa tích phân tích phân không thể sử dụng 3 phương pháp trên và trong tích phân có 2 hàm số xuất hiện với giới hạn không đổi, lúc này cần áp dụng phương pháp tích phân từng phần.
Hình minh họa:
\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Cho hai hàm số liên tục }f(x) \text{ và }g(x) \text{ có nguyên hàm lần lượt là } F(x) \text{ và } G(x) \text{ trên } [1;2]. \text{ Biết rằng } F(1)=1,\\
&\footnotesize F(2)=4,\ G(1)=\frac32,\ G(2)=2 \text{ và } \intop^2_1f(x)G(x)dx=\frac{67}{12}. \text{ Tính tích phân hàm ẩn sau: }\intop^2_1F(x)g(x)dx.
\end{aligned}
Dung dịch:
\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Đặt }\begin{cases}u=F(x)\\dv=g(x)dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du=f(x)dx \\ v=G(x) \end{cases}\\
&\footnotesize \text{Vậy }\intop^2_1F(x)g(x)dx=F(x)G(x)|^2_1-\intop^2_1f(x)G(x)dx=8-\frac32-\frac{67}{12}=\frac{11}{12}
\end{aligned}
Dạng 5: Phương trình vi phân tuyến tính bậc 1
Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f ‘(x) + p (x) .f (x) = h (x)
Phương pháp:
\begin{aligned}
&+ \space Tìm\space P(x)\space =\intop p(x)dx\\
&+ Nhân\space hai\space vế\space e^{{\lmoustache p(x)dx}} ta\space được:\\
&f'(x).e^{{\lmoustache p(x)dx}}+p(x).e^{{\lmoustache p(x)dx}}.f(x)=h(x)e^{{\lmoustache p(x)dx}}\\
&\Leftrightarrow f'(x).e^p(x) +p(x).e^{p(x)}f(x)=q(x)e^{p(x)}\\
&\Leftrightarrow\lbrack f(x).e^{{\lmoustache p(x)dx}} \rbrack = h(x).e^{{\lmoustache p(x)dx}}\\
\end{aligned}
Hệ quả 1: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức: f ‘(x) + f (x) = h (x)
Phương pháp
\begin{aligned}
&+\space Nhân\space hai\space vế\space với\space e^x\space ta\space được\space e^x.f'(x)+e^x.h(x) \Leftrightarrow \lbrack e^x.f(x) \rbrack'=e^x.h(x)\\
&+Suy\space ra\space e^x.f(x)= \lmoustache e^x.h(x)dx\\
& +Từ\space đây\space ta\space dễ\space dàng\space tìm\space được\space f(x)
\end{aligned}
Hệ quả 2: Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f ‘(x) -f (x) = h (x)
Phương pháp
\begin{aligned}
& \text{+Nhân hai vế với}\space e^x \text{ta được}\space e^{-x}.f'(x)-e^{-x} .f(x)=e^{-x}.h(x)\\
&\Leftrightarrow \lbrack e^{-x}.f(x) \rbrack' = e^{-x}.h(x)\\
& +Suy\space ra\space e^{-x} .f(x)=\lmoustache e^{-x} h(x)dx\\
& +\text{Từ đây ta dễ dàng tìm được f(x)}
\end{aligned}
Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại Tiểu Học Đông Hòa B
Giáo dục Tiểu Học Đông Hòa B là Nền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Tiểu Học Đông Hòa B sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.
Tại Tiểu Học Đông Hòa B, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận giáo viên sẽ giúp học viên tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.
Lý thuyết và Quy tắc đếm – Toán 11 Và Bài tập
Giáo dục Tiểu Học Đông Hòa B cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.
Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu và nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của Tiểu Học Đông Hòa B luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.
Khi trở thành học viên của Tiểu Học Đông Hòa B, bạn cũng sẽ nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và kỹ lưỡng giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.
Tiểu Học Đông Hòa B cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, Tiểu Học Đông Hòa B sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại Tiểu Học Đông Hòa B ngay hôm nay để được hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.
Bài viết trên của Tiểu Học Đông Hòa B đã tổng hợp lại cho bạn những kiến thức quan trọng về tích phân tích phân và các phương pháp giải các dạng toán liên quan. Các em chú ý học lý thuyết cũng như các ví dụ để vận dụng vào giải bài tập. Chúc các bạn học tập đạt kết quả cao và đạt được nhiều thành tích tốt!
Nhớ để nguồn: Các Dạng Tích Phân Hàm Ẩn Và Phương Pháp Giải Chi Tiết