Phương pháp nguyên thủy từng phần được biết đến như một trong những phương pháp giải các bài toán nguyên hàm nâng cao. Đây cũng là một phương pháp khá phức tạp nên trong quá trình áp dụng, trẻ dễ bị nhầm lẫn. Trong bài viết này, Team bangtuanhoan.edu.vn sẽ giúp bạn hiểu đúng về Phương pháp này cũng các dạng nguyên hàm thường gặp và các giải pháp hữu hiệu.
>>> Xem thêm:
- Toán 12 Nguyên hàm – Lý thuyết và Một số Bài tập Ví dụ
- Bảng công thức nguyên thủy đầy đủ và chi tiết và lời giải
Một phần nguyên thủy là gì?
Nguyên hàm từng phần là một phương pháp phổ biến để tìm tích phân bất định của một hàm phức. Hàm này thường sẽ chứa đồng thời hai trong bốn hàm sau: một hàm lượng giác, một hàm logarit, một hàm đa thức hoặc một hàm mũ.
Công thức tính nguyên thủy từng phần
Với hàm u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm và liên tục trên tập K, ta có công thức tổng quát sau:
\int udv=uv-\int vdu
Khi sử dụng phương pháp này, bạn cần lưu ý:
- Thứ tự ưu tiên đặt u là “log đầu tiên, đa thứ hai, ba lượng tử, bốn cấp số nhân”. Phần còn lại đặt là dv.
- Đối với các nguyên hàm chứa lượng giác và số mũ, bạn có thể đặt u và dv theo thứ tự lượng giác và cấp số nhân hoặc ngược lại. Tuy nhiên, bạn phải sử dụng 2 tích phân từng phần và thống nhất theo đúng thứ tự.
- Số lần tích phân từng phần sẽ phụ thuộc vào mức độ của hàm lôgarit và đa thức. Đặc biệt:
\begin{aligned}
&\footnotesize\circ\text{Biểu thức nguyên hàm }log_a^nf(x), ln^nf(x) \ \text{thì phải tính n lần tích phân}\\
&\footnotesize\text{từng phần.}\\
&\footnotesize\circ\text{Nếu biểu thức có chứa đa thức bậc n mà không chứa hàm logarit thì}\\
&\footnotesize\text{ các em cũng phải tính tích phân từng phần n lần.}
\end{aligned}
Các dạng nguyên thủy từng phần phổ biến
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số lôgarit
Tính nguyên hàm của hàm số logarit:
I=\int f(x)ln(ax+b)dx
trong đó f (x) là một hàm của đa thức
Lý thuyết về Phép biến hình lớp 11
Phương pháp giải dạng toán này được thực hiện qua các bước sau:
Bước 1: Cài đặt:
\begin{cases}u=ln(ax+b)\\dv=f(x)dx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=\frac{a}{ax+b}dx\\v=\int f(x)dx\end{cases}
Bước 2: Sau khi thiết lập ở bước 1, chúng ta có thể suy ra:
I=uv-\int vdu
Mời các bạn xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn về dạng toán này:
Ví dụ: Tính nguyên hàm của một hàm số:
f(x)=x.lnx
Dựa vào phương pháp giải trên, bạn sẽ thấy:
F(x)=\int f(x)dx = \int x.lnx.dx
Bạn tiến hành đưa biểu thức về dạng:
\begin{cases}u=lnx\\dv=xdx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=\frac{dx}{x}\\v=\frac{x^2}{2}\end{cases}
Theo phương pháp nguyên thủy từng phần sẽ lấy:
F(x)=\frac{1}{2}x^2lnx-\frac{1}{2}\int xdx=\frac{1}{2}x^2lnx-\frac{1}{4}x^2+C
Dạng 2: Tìm nguyên thủy của số mũ
Tính số nguyên tố của hàm số mũ:
A=\int f(x).e^{ax+b}dx
trong đó f (x) là một hàm đa thức.
Phương pháp giải quyết như sau:
Bước 1: Bạn tiến hành đặt:
\begin{cases}u=f(x)\\dv=e^{ax+b}dx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=\frac{1}{a}e^{ax+b}dx\end{cases}
Bước 2: Sau khi thiết lập ở bước 1, chúng tôi nhận được:
\int f(x)e^{ax+b}dx = uv-\int vdu
Bạn tiếp tục theo dõi ví dụ sau:
Ví dụ: Tính nguyên hàm của biểu thức:
I=\int x.e^xdx
Dung dịch:
Bạn tiến hành đặt:
\begin{cases}u=x\\dv=e^xdx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=dx\\v=e^x\end{cases}
Theo công thức tính nguyên thủy từng phần chúng ta sẽ lấy:
\begin{aligned}
I&=\int xe^xdx\\
&=xe^x-\int e^xdx\\
&=xe^x-\int d(e^x)\\
&=xe^x-e^x+C
\end{aligned}
Dạng 3: Tìm nguyên thủy của hàm lượng giác và hàm đa thức
Tính nguyên hàm của các hàm lượng giác:
\begin{aligned}
&A=\int f(x)sin(ax+b)dx\\
&\text{Hoặc}\\
&B=\int f(x)cos(ax+b)dx
\end{aligned}
Phương pháp giải quyết:
Bước 1: Bạn tiến hành đặt:
\begin{aligned}
&\begin{cases}u=f(x)\\dv=sin(ax+b)dx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=-\frac{1}{a}cos(ax+b)\end{cases}\\
&\text{Hoặc}\\
&\begin{cases}u=f(x)\\dv=cos(ax+b)dx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=f'(x)dx\\v=\frac{1}{a}sin(ax+b)\end{cases}\\
\end{aligned}
Bước 2: Thực hiện chuyển đổi thành:
\begin{aligned}
&\int f(x)sin(ax+b)dx=uv-\int vdu\\
&\text{Hoặc}\\
&\int f(x)cos(ax+b)dx=uv-\int vdu\\
\end{aligned}
Các bạn có thể tham khảo các bài tập sau để hiểu rõ hơn:
Ví dụ: Tính nguyên hàm của một hàm số lượng giác:
A=\int x.sinx.dx
Dựa vào phương pháp giải trên, học sinh đặt:
\begin{cases}u=x\\dv=sinxdx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=dx\\v=-cosx\end{cases}\\
Áp dụng công thức, bạn sẽ nhận được:
A=-xcosx+\int cosxdx=-xcosx+sinx+C
Dạng 4: Tìm nguyên thủy của hàm lượng giác và hàm số mũ
Tính các nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ:
\begin{aligned}
&\int e^{ax+b}sin(cx+d)dx\\
&\text{Hoặc}\\
&\int e^{ax+b}cos(cx+d)dx
\end{aligned}
Phương pháp giải quyết như sau:
- Bước 1: Bạn tiến hành đặt:
\begin{cases}u=sin(cx+d)\\dv=e^{ax+b}dx\end{cases}
\text{Hoặc} \begin{cases}u=cos(cx+d)\\dv=e^{ax+b}dx\end{cases}
- Bước 2: Dựa vào công thức tổng quát uv – ∫vdu để tính nguyên hàm.
Bạn cũng cần lưu ý, với dạng tính nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ này, bạn nên lấy nguyên hàm từng phần hai lần. Ngoài ra, ở bước 1, bạn cũng có thể đặt hàng theo cách sau:
\begin{cases}u=e^{ax+b}\\dv=sin(cx+d)dx\end{cases}
\text{Hoặc} \begin{cases}u=e^{ax+b}\\dv=cos(cx+d)dx\end{cases}
Sau đây là bài tập để các em dễ hình dung:
Ví dụ: Tính nguyên hàm của hàm số sau:
I=\int sinx.e^xdx
Chúng tôi tiến hành thiết lập:
\begin{cases}u=sinx\\dv=e^xdx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=cosxdx\\v=e^x\end{cases}\\
Tại thời điểm này, bạn có thể suy ra:
I=e^xsinx-\int cosxe^xdx=e^xsinx-J
Và:
J=\int cosx.e^xdx
Để tính J, bạn cần lấy nguyên thủy một phần lần thứ hai như sau:
Cách tính đạo hàm Tanx và bài tập áp dụng đạo hàm Tanx có lời giải
Đặt:
\begin{cases}u=cosx\\dv=e^xdx\end{cases}
\implies \begin{cases}du=-sinxdx\\v=e^x\end{cases}\\
Chúng ta có:
\begin{alignat*}{2}
&J=e^xcosx+\int sinx.e^xdx\\
&=e^xcosx+I\\
&\small\text{Lúc này biểu thức nguyên hàm sẽ trở thành:}\\
&=e^xsinx-J\\
&=e^xsinx-(e^xcosx+I)\\
&\Leftrightarrow 2I=e^xsinx-e^xcosx\\
&\text{Vậy }I=\frac{1}{2}(e^xsinx-e^xcosx)+C
\end{alignat*}
Bài tập nguyên thủy từng phần có đáp án
Dưới đây là một số bài tập về nguyên hàm từng phần có lời giải cho các em học sinh tham khảo:
\begin{aligned}
& \small \text{1)Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: }
\\
& \small \text{a. } f(x) = \int xsinxdx
\\
& \small \text{b. } f(x) = \int xe^{3x}dx
\\
& \small \text{c. } f(x) = \int x^2cosxdx
\\
& \small \text{Lời giải: }
\\
& \small \text{a. }
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x
\\
sinxdx = dv
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = -cosx
\end{cases}
\\
& \small \implies f(x) = \int xsinxdx = -xcosx + \int cosxdx = -xcosx + sinx + C
\\
& \small \text{b. }
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x
\\
e^{3x}dx = dv
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = \frac{1}{3}e^{3x}
\end{cases}
\\
& \small \implies f(x) = \int xe^{3x}dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{3} \int e^{3x}dx = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9} \int e^{3x}d(3x)
\\
& \small = \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C
\\
& \small \text{c. }
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x^2
\\
coxdx = dv
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = 2xdx
\\
v = sinx
\end{cases}
\\
& \small \implies f(x) = \int x^2cosxdx = x^2sinx - \int 2xsinxdx = x^2sinx - 2\int xsinxdx
\\
& \small \text{Đặt }
\begin{cases}
u = x
\\
sinxdx = dv
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
du = dx
\\
v = -cosx
\end{cases}
\\
& \small \implies f(x) = x^2sinx + 2xcosx - 2\int cosxdx = x^2sinx + 2xcosx - 2sinx + C
\end{aligned}
\begin{aligned}
&2) \text{Tìm nguyên hàm của hàm số } I=sinx.e^xdx\\
&Đặt\space \begin{cases} &u=sinx\\&dv=e^xdx \end{cases}\\ &\Rightarrow \begin{cases} &du=cosxdx\\&v=e^x \end{cases}\\
&\text{Khi đó nguyên hàm I trở thành}\\
&I=e^x.sinx-\int cosxe^xdx\\
&=e^xsinx-J\\
&J=\int cosxe^xdx\\
&=e^xsinx-J\\
&Đặt\space \begin{cases} &u=cosx\\ &dv=e^xdx \end{cases}\\
&\Rightarrow \begin{cases}&du=-sinxdx\\&v=e^x \end{cases}\\
&J=e^xcosx+\int sinxe^xdx\\
&=e^xcosx+I\\
&I=e^xsinx-J\\
&=e^xsinx-e^xcosx\\
&Vậy\space I=\frac{1}{2}(e^xsinx-e^xcosx)+C
\end{aligned}
\begin{aligned}
3)\text{Tìm nguyên hàm }
&D=\int x^2lnxdx\\
&Đặt:\\
&\begin{cases} u=lnx\\x^2dx=dv \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases} du=\frac{dx}{x}\\v=\frac{x^3}{3} \end{cases}\\
&\rightarrow I= \int x^2lnxdx=\frac{x^3}{3}ln-\int \frac{x^3}{3}.\frac{dx}{x}= \frac{x^3}{3}-\frac{x}{9}+C \end{aligned}
\begin{aligned}
&4)\int(2-x).sinxdx\\
&Đặt \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx \end{cases}
&\Rightarrow &\begin{cases} &du=-dx\\&v=-cosx \end{cases}\\
&\text{Theo công thức tích phân từng phần}\\
& \int(2-x).sinxdx\\&=(2-x).(-cosx)-\int cosxdx\\
&=(x-2).cosx-sinx+C
\end{aligned}
\begin{aligned}
&5) \int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\
&=\int \frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\
&= \int \frac{1}{2cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\
&=\frac{1}{2}tan(x-\frac{\pi}{4})+C
\end{aligned}
\begin{aligned}
&6) \text{Tìm nguyên hàm của hàm số sau:} \int \frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\int \frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\
&=\frac{1}{3}\int \frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\
&=\frac{-1}{3}.ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\
&=\frac{1}{3}ln|\frac{1+x}{2-x}|+C
\end{aligned}
\begin{aligned}
& 7) \text{Tìm nguyên hàm}
\int \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\
&=\int \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}\sqrt{x}}dx\\
&=\int \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}dx\\
&=\int(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})dx\\
&=\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}.x^{\frac{3}{2}}+C\\
&=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C
\end{aligned}
\begin{aligned}
&8) \text{Tìm nguyên hàm của} \int \frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\
&=\int \frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}dx\\
&=\int(e^{2x}-e^x+1)dx\\
&=\int(e^{2x}-e^{x}+1)dx\\
&=\frac{1}{2}e^{2x}-e^{x}+x+C
\end{aligned}
\begin{aligned}
& 9)\text{Cho nguyên hàm }\int xcos^2xdx=mx^2+xsin2x+pcos2x+C\space \text{trong đó m,n,p} \in R.\space \\&\text{Tính giá trị của P=m+n+p}\\
& \text{Ta có }: I=\int x\frac{1+cos2x}{2}dx=\frac{1}{2}\int xdx+\frac{1}{2}\int xcos2xdx\\
&Đặt\\
&\begin{cases}u=x\\dv=cos2xdx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du=dx\\v=\frac{sin2x}{2} \end{cases}\\
&xcos2xdx=\frac{xsin2x}{2}-\int \frac{sin2xdx}{2}=\frac{xsin2x}{2}+\frac{cos2x}{4}+C\\
&\Rightarrow I=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{4}xsin2x+\frac{1}{8}cos2x+C\Rightarrow m+n+p=\frac{5}{8}
\end{aligned}
\begin{aligned}
&10)\space Cho\space F(x)=x^2+1\text{là một nguyên hàm của hàm số }\frac{f(x)}{x}.\text{Tìm nguyên hàm của }f'(x)lnx\\
&Đặt \begin{cases} u=lnx\\dv=f'(x)dx \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} du=\frac{dx}{x}\\v=f(x) \end{cases}\\
&Suy \space ra \int f'(x).lnxdx=lnx.f(x)-\int\frac{f(x)}{x}dx\\
&Ta\space có\space F'(x)=\frac{f(x)}{x} \Leftrightarrow2x=\frac{f(x)}{x}\Leftrightarrow f(x)=2x^2\\
&Do\space đó\int f'(x).lnxdx=2x^2.lnx-x^2-1+C=x^2(2lnx-10)+C
\end{aligned}
Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại bangtuanhoan.edu.vn
Giáo dục bangtuanhoan.edu.vn là Nền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, bangtuanhoan.edu.vn sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.
Đạo hàm Giá trị Tuyệt đối của X là gì? Công thức tính toán và bài tập
Tại bangtuanhoan.edu.vn, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.
Giáo dục bangtuanhoan.edu.vn cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.
Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu và nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của bangtuanhoan.edu.vn luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
Nhờ nền tảng học livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.
Khi trở thành học viên của bangtuanhoan.edu.vn, bạn cũng sẽ nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và kỹ lưỡng giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.
bangtuanhoan.edu.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, bangtuanhoan.edu.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại bangtuanhoan.edu.vn ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.
Hi vọng những thông tin mà Team bangtuanhoan.edu.vn chia sẻ trên đây có thể giúp bạn hiểu rõ hơn về công thức tính nguyên thủy một phần. Bên cạnh đó, các em còn được làm quen với các dạng toán thường gặp và cách giải nhanh, chính xác. Các em hãy chú ý theo dõi bài học và đừng quên ôn tập để áp dụng giải bài tập khi cần nhé. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!
Nhớ để nguồn: Công Thức Nguyên Hàm Từng Phần Và Cách Giải Bài Tập Chi Tiết