Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số: Lý Thuyết Và Cách Tìm Đường Tiệm Cận

Trong chương trình toán 12 thì asymptote là một khái niệm mới mà học sinh cần vận dụng nhiều để giải toán. Vì thế asymptote gì? Làm thế nào để tìm thấy asymptote thế nào? Hãy cùng Team hkmobile.vn theo dõi và tìm hiểu ngay qua bài viết dưới đây.

>>> Xem thêm: Pháp sư là gì? Công thức Đạo hàm Phổ biến

Khái niệm về các dấu không của đồ thị một hàm số

Ta có: Cho đường thẳng y = f (x) có đồ thị C là:

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (Nguồn: Internet)

Tiệm cận đứng

Đồ thị C có tiệm cận đứng là x = a nếu f (x) thỏa mãn một trong bốn điều kiện sau:

\begin{aligned}
&\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=-\infin\\
&\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=-\infin\\
\end{aligned}

Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng y = b sẽ là một tiệm cận ngang của đồ thị (C) nếu thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện sau:

\begin{aligned}
&\lim\limits_{x\to +\infin}f(x)=b\\
&\lim\limits_{x\to-\infin}f(x)=b\\
\end{aligned}

Ghi chú: Đối với hàm đa thức, không có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Do đó, đối với những vấn đề thuộc loại này, bạn không cần phải tìm những nguyên nhân không có triệu chứng này.

Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị (C) nếu đường thẳng này thỏa mãn ít nhất một trong hai điều kiện sau:

\begin{aligned}
\left[ \begin{array}{c}
\lim\limits_{x\to +\infin}[f(x)-(ax+b)]=0\\\lim\limits_{x\to -\infin}[f(x)-(ax+b)]=0
\end{array}\right.
\end{aligned}

Trong đó:

\begin{cases}
a=\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{f(x)}{x}\\
b=\lim\limits_{x\to +\infin}[f(x)-ax]
\end{cases} \text{ hoặc }
\begin{cases}
a=\lim\limits_{x\to -\infin}\frac{f(x)}{x}\\
b=\lim\limits_{x\to -\infin}[f(x)-ax]
\end{cases} 

>>> Xem thêm: Cách Tính Đạo hàm Hợp chất và Bài tập Ứng dụng

chương trình thử nghiệm

Cách tìm không có triệu chứng và các dạng bài tập

Với mỗi dạng hàm khác nhau sẽ có những phương pháp tìm đường tiệm cận riêng. Dưới đây là hướng dẫn cách tìm tiệm cận chi tiết và dễ hiểu nhất mà bạn có thể áp dụng cho 3 dạng toán: Tìm tiệm cận của hàm số phân số bậc nhất, hàm số hữu tỉ và hàm số phân số. số gốc:

Bất đẳng thức Mincopxki và bài tập có đáp án chi tiết

Dạng 1: Tìm tiệm cận của hàm số phân thức bậc nhất

Phương pháp giải quyết

Đối với một hàm phân số bậc nhất:

y=\frac{ax+b}{cx+d}
\begin{aligned}
&\small\text{Để hàm số trên tồn tại các đường tiệm cận thì hàm số phải thỏa mãn điều kiện: } c ≠ 0 \text{ và } ad\ – \ bc ≠ 0\\
&\small\text{Khi đó ta sẽ được các đường tiệm cận đứng }x=-\frac{d}{c} \text{ và đường tiệm cận ngang }y=\frac{a}{c}.
\end{aligned}

Ví dụ: Xác định các điểm không cố định theo chiều dọc và chiều ngang của hàm số:

y=\frac{2x-1}{x+2}

Phần thưởng:

\begin{aligned}
&\small\text{TXĐ: } D=\R \setminus \{-2\}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to -\infin}y=\lim\limits_{x\to -\infin}\frac{2x-1}{x+2}=2\\
&\lim\limits_{x\to +\infin}y=\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{2x-1}{x+2}=2\\
&\small\text{Vậy hàm số trên có đường tiệm cận ngang là }y = 2.\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to (-2)^-}y=\lim\limits_{x\to (-2)^-}\frac{2x-1}{x+2}=-\infin\\
&\lim\limits_{x\to (-2)^+}y=\lim\limits_{x\to (-2)^+}\frac{2x-1}{x+2}=+\infin\\
&\small\text{Vậy hàm số trên có đường tiệm cận đứng là }x = -2.
\end{aligned}

Sự kết luận: Đồ thị của hàm số đã cho có tiệm cận ngang là y = 2 và tiệm cận đứng là x = -2.

Xem thêm bài viết hay:  Cảm nhận về nhân vật bé Hồng trong đoạn trích Trong lòng mẹ

Dạng 2: Tìm nghiệm của hàm phân số hữu tỉ

Phương pháp giải quyết

\begin{aligned}
&\small \text{Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số }y=\frac{A}{f(x)} \text{ với A là số thực khác 0 và f(x) là đa thức bậc n}\\
&\small \text{(n> 0).}\\
&\small \bull\text{Đồ thị hàm số } y=\frac{A}{f(x)} \text{ luôn có một tiệm cận ngang y = 0.}\\
&\small \bull\text{Tiệm cận đứng của hàm số } y=\frac{A}{f(x)} \text{là } x = x_0 \text{ nếu như thỏa mãn điều kiện }x_0 \text{ là nghiệm của}\\
&\small \text{đa thức }f(x) \text{ hay } f(x) = 0.\\
&\small \bull\text{Tiệm cận của }y=\frac{f(x)}{g(x)}
\end{aligned}

TH2:

\begin{aligned}
&\small \text{Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số }y=\frac{f(x)}{g(x)}, \text{trong đó f(x) và g(x) là các đa thức bậc khác 0.}\\
&\small \bull\text{Hàm số } y=\frac{f(x)}{g(x)} \text{có tiệm cận ngang nếu như thỏa mãn điều kiện bậc đa thức f(x) nhỏ hơn bậc }\\
&\small \text{của đa thức g(x).}\\
&\small \bull\text{Để đường thẳng }x = x_0 \text{ trở thành tiệm cận đứng của đồ thị hàm số }y=\frac{f(x)}{g(x)} \text{ thì }x_0 \text{ phải là }\\
&\small \text{ nghiệm của g(x) nhưng không phải của f(x) hoặc đồng thời }x_0 \text{ là nghiệm}\\
&\small \text{bội n của g(x) và nghiệm bội m của f(x) }(m < n).
\end{aligned}

Ví dụ: Tìm các tiệm cận ngang và dọc của hàm

y=\frac{x^2-x+1}{x-1}

Phần thưởng:

Tích phân mở rộng là gì? Cách tính Tích phân mở rộng

\begin{aligned}
&\small\text{TXĐ: } D=\R \setminus \{1\}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to +\infin}y=\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{x^2-x+1}{x-1}=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to -\infin}y=\lim\limits_{x\to -\infin}\frac{x^2-x+1}{x-1}=-\infin\\
&\small\text{Vậy hàm số trên không có đường tiệm cận ngang.}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to 1^+}y=\lim\limits_{x\to 1^+}\frac{x^2-x+1}{x-1}=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to 1^-}y=\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{x^2-x+1}{x-1}=-\infin\\
&\small\text{Vậy hàm số trên có đường tiệm cận đứng là }x = 1
\end{aligned}

Sự kết luận: Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = 1.

Xem thêm bài viết hay:  Check-in ngay các địa điểm du lịch Đà Nẵng đẹp mê mẩn quên lối về

Dạng 3: Tìm tiệm cận của hàm số

Phương pháp giải quyết:

Cho hàm số y = f (x) trong đó f (x) là hàm chứa căn.

Tìm tập hợp D của f (x)

Để hàm số y = f (x) có một tiệm cận ngang thì:

\begin{aligned}
&\small\bull \text{Trong tập xác định D của hàm số phải chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ }\\
&\small\bull \text{Một trong 2 giới hạn }\lim\limits_{x\to -\infin}y \text{ hoặc }\lim\limits_{x\to +\infin}y \text{ hữu hạn.}
\end{aligned}

Ví dụ 1: Xác định các điểm không triệu chứng theo chiều ngang và chiều dọc của hàm

y=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}

Phần thưởng:

\begin{aligned}
&\small\text{TXĐ: } D=\R \setminus \{0\}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to +\infin}y=\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-1\\
&\lim\limits_{x\to -\infin}y=\lim\limits_{x\to -\infin}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-1\\
&\small\text{Vậy đường thẳng }y = -1 \text{ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.}\\
&\small\text{Ta có: }\\
&\lim\limits_{x\to 0^+}y=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=+\infin\\
&\lim\limits_{x\to 0^-}y=\lim\limits_{x\to 0^-}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-\infin\\
&\small\text{Vậy hàm số trên có đường tiệm cận đứng là }x = 0
\end{aligned}

Ví dụ 2: Xác định các điểm không triệu chứng theo chiều ngang và chiều dọc của hàm

y=1+\sqrt{1-x^2}

Phần thưởng:

Chúng ta có:

y=1+\sqrt{1-x^2} \Leftrightarrow\begin{cases}-1 \le x\le 1\\ y\ge 1 \\ x^2+(y-1)^2=1\end{cases}

Vậy đồ thị hàm số là hình bán nguyệt có bán kính R = 1, tâm I (0,1) nên đồ thị không có tiệm cận.

>>> Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Cực trị của hàm số và Phương pháp tìm cực trị

Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại hkmobile.vn

Giáo dục hkmobile.vnNền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, hkmobile.vn sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.

Tại hkmobile.vn, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến ​​thức nhanh chóng và dễ dàng.

Xem thêm bài viết hay:   Hướng dẫn cách tải app VinID nhanh chóng, siêu đơn giản

Cách tìm Tập xác định và điều kiện cấp số nhân

Giáo dục hkmobile.vn cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.

Với ứng dụng tích hợp nền tảng công nghệ và thông tin dữ liệu, mỗi lớp học của hkmobile.vn luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định với khả năng chống giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học tập livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học sinh của hkmobile.vn, bạn cũng nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và sắp xếp hợp lý giúp học sinh dễ học và ghi nhớ kiến ​​thức hơn.

hkmobile.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, hkmobile.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại hkmobile.vn ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Trên đây là chia sẻ của Team hkmobile.vn về kiến ​​thức Toán 12 asymptote và các giải pháp dễ hiểu. Hi vọng qua bài viết này các bạn sẽ hiểu rõ hơn kiến ​​thức và vận dụng thành công vào các bài toán của mình. Chúc các bạn thành công trong học tập.

Nhớ để nguồn: Đường Tiệm Cận Của Đồ Thị Hàm Số: Lý Thuyết Và Cách Tìm Đường Tiệm Cận

Viết một bình luận