Học thuyết Toán 10 Giá trị lượng giác của một cung Đây là một trong những điều quan trọng nhất bạn cần biết. Vì vậy, việc nắm vững các nội dung liên quan đến chủ đề này như định nghĩa, hệ quả, các công thức cơ bản,… và các dạng bài tập cơ bản là vô cùng quan trọng. Hãy cùng Team hkmobile.vn tìm hiểu thêm những kiến thức này nhé Toán 10 Giá trị lượng giác của một cung qua bài viết dưới đây.
>>> Xem thêm: Hàm lượng giác – Lý thuyết và Công thức
Định nghĩa giá trị lượng giác của một cung
Trên đường tròn lượng giác tâm O, cho điểm M (x; y) sao cho số đo của cung AM = α sau đó:
\begin{aligned}
&\bullet sinα=\overline{OQ}=y_0\\
&\bullet cosα=\overline{OP}=x_0\\
&\bullet tanα = \frac{sinα}{cosα}\ (cosα ≠ 0)\\
&\bullet cotα = \frac{cosα}{sinα} (sinα ≠ 0)
\end{aligned}
Định nghĩa: Các giá trị sinα, cosα, tanα và cotα là các giá trị lượng giác của một cung tròn. Bạn có thể gọi trục tung là trục sin và trục hoành là trục côsin.
Ví dụ: Tính cos (-240o)
Hướng dẫn:
Để tính giá trị lượng giác của cung AM với bất kỳ số đo α nào, hãy làm theo các bước sau:
- Hãy biểu diễn cung AM trên một đường tròn lượng giác có tâm O.
- Xác định tọa độ của điểm M, từ đó suy ra các giá trị lượng giác cần tìm.
\begin{aligned}
&\text{Ta có: } -240^\circ = 120^\circ - 360^\circ \\
&\text{Suy ra: }cos(-240^\circ)=cos120^\circ=-\frac{1}{2}
\end{aligned}
Hệ quả của giá trị lượng giác của một cung
\begin{aligned}
&\small \text{1. Với sinα và cosα luôn xác định với mọi giá trị α ∈ R, ta có:}\\
&\small\ \ \ \bull sin (α+ 2kπ) = sinα\ (⩝k ∈ Z)\\
&\small\ \ \ \bull cos (α+ 2kπ) = cosα (⩝k ∈ Z)\\
&\small2. \ -1 < sinα ≤ 1, -1 ≤ cosα ≤ 1\\
&\small3. ⩝m ∈ R \text{ và }-1 ≤ m ≤ 1 \text{ đều tồn tại giá trị α và β sao cho }sinα = m\text{ và }cosα = m.\\
&\small \text{4. tanα xác định }⩝α ≠ \frac{π}{2} + kπ\ (k ∈ Z)\\
&\small \text{5. cotα xác định }⩝α ≠ kπ (k ∈ Z)
\end{aligned}
Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
Một số giá trị lượng giác của các cung đặc biệt qua bảng sau:
Giá trị lượng giác của các cung có liên quan
Cung đối diện
Vì điểm cuối của hai cung AM, AM ‘đối xứng nhau qua trục hoành nên ta có:
\begin{aligned}
&\bull sin (-α) = -sinα\\
&\bull cos (-α) = cosα\\
&\bull tan (-α) = -tanα\\
&\bull
cot (-α) = -cotα
\end{aligned}
Cung cấp bổ sung cho nhau
Vì điểm cuối của hai cung AM, AM ‘đối xứng nhau qua trục tung nên ta có:
\begin{aligned}
&\bull sin (\pi-α) = sinα\\
&\bull cos (\pi-α) = -cosα\\
&\bull tan (\pi-α) = -tanα\\
&\bull cot (\pi-α) = -cotα
\end{aligned}
Các cung tiếp theo
Điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua đường phân giác d của góc xOy nên ta có:
\begin{aligned}
&\bull sin \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = cosα\\
&\bull cos \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = sinα\\
&\bull tan \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = cotα\\
&\bull cot \left(\frac{\pi}{2}-α\right) = tanα
\end{aligned}
Hơn kém nhau một góc π
Điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua gốc tọa độ O nên ta có:
\begin{aligned}
&\bull sin (α+\pi) = -sinα\\
&\bull cos(α+\pi) = -cosα\\
&\bull tan(α+\pi)= tanα\\
&\bull cot (α+\pi) = cotα
\end{aligned}
Chú ý: Để có thể ghi nhớ các công thức trên một cách dễ dàng, các bạn có thể học thuộc bí kíp sau “cos đối, sin, phụ chéo, tan nhiều hơn bớt pi”.
Phương trình lượng giác cơ bản và các dạng bài tập có lời giải
Các công thức lượng giác cơ bản
Một số công thức lượng giác cơ bản mà bạn có thể tham khảo như:
\begin{aligned}
&\bull sin^2α + cos^2α = 1\\
&\bull tanα.cotα = 1\\
&\bull 1 + tan^2α = \frac{1}{cos^2α}\\
&\bull 1 + cot^2α = \frac{1}{sin^2α}
\end{aligned}
Ý nghĩa hình học của tan và cotan
Ý nghĩa hình học của tanα
\begin{aligned}
&\small \text{Tanα được biểu diễn trong đường tròn lượng giác bởi độ dài đại số của vectơ } \overrightarrow{AT} \text{ trên trục t’At. }\\
&\small\text{Trục t’At được gọi là trục tan.}
\end{aligned}
Ý nghĩa hình học của cotα
\begin{aligned}
&\small \text{Cotα được biểu diễn trong đường tròn lượng giác tâm O bởi độ dài đại số của vectơ }\overrightarrow{BS} \text{ trên trục s’Bs.}\\
&\small\text{Trục s’Bs được gọi là trục cot.}\\
\end{aligned}
4 ví dụ minh họa về giá trị lượng giác của một cung
ví dụ 1:
\text{Cho }sinα = \frac{\sqrt3}{2}\ với\ 0 < α < \frac{π}{2}. \text{ Tính cosα}
Hướng dẫn:
\begin{aligned}
&\text{Ta có: }sin^2α + cos^2α = 1\\
&cos^2α = 1 - sin^2α = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\\
&\text{Vì } 0 < α < \frac{π}{2} \text{ nên }cosα > 0 ⟹ cosα = \frac12
\end{aligned}
Ví dụ 2:
\text{Cho }cosα = \frac{\sqrt{11}}{6} \text{ với } \frac{3π}{2} < α < 2π. \text{ Tính sinα.}
Hướng dẫn:
\begin{aligned}
&\text{Ta có: }sin^2α + cos^2α = 1\\
&⟹ sin^2α = 1 - cos^2α = 1 - \left(\frac{\sqrt{11}}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}
&⟹ sinα = ± \frac56\\
&\text{Vì }\frac{3π}{2} < α < 2π \text{ nên } sinα < 0 ⟹ sinα = -\frac56
\end{aligned}
Ví dụ 3: Đơn giản hóa biểu thức B dưới đây:
B = cos (90o – x) .sin (180o – x) – sin (90o – x) .cos (180o – x)
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức về cung bổ sung và cung bù nhau, ta có:
B = cos (90o – x) .sin (180o – x) – sin (90o – x) .cos (180o – x)
Các bất đẳng thức và bài tập Cosi có đáp án chi tiết
= sinx.sinx – cosx. (- cosx)
= tội lỗi2x + cos2x
= 1
Ví dụ 4:
\text{Tính }cos \frac{-11π}{4}
Hướng dẫn:
\begin{aligned}
&\text{Sử dụng cung đối, ta có: }\\
&cos \frac{-11π}{4} = cos\frac{11π}{4} = cos\left(2π + \frac{3π}{4}\right) = cos \frac{3π}{4} = cos (π - \frac{π}{4}) = - cos \frac{π}{4} = - \frac{\sqrt2}{2}
\end{aligned}
Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại hkmobile.vn
Giáo dục hkmobile.vn là Nền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, hkmobile.vn sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.
Tại hkmobile.vn, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.
Giáo dục hkmobile.vn cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.
Với ứng dụng tích hợp nền tảng công nghệ và thông tin dữ liệu, mỗi lớp học của hkmobile.vn luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
Cách tính đạo hàm Cos2x và bài tập có đáp án
Nhờ nền tảng học tập livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.
Khi trở thành học viên của hkmobile.vn, bạn cũng sẽ nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và kỹ lưỡng giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.
hkmobile.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, hkmobile.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại hkmobile.vn ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.
Giá trị lượng giác của một cung là một trong những dạng toán liên quan đến việc áp dụng nhiều công thức lượng giác lại với nhau. Để nắm vững lý thuyết và giải tốt dạng bài tập này, học sinh cần dành nhiều thời gian để ghi nhớ các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt và các công thức lượng giác cơ bản.
Nhớ để nguồn: Lý Thuyết Toán 10 Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung