Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian: Lý Thuyết và Bài Tập

Phương trình của một đường trong không gian là nội dung thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia. Vì vậy, các em cần nắm vững kiến ​​thức để có thể làm bài một cách hiệu quả và chính xác hơn. Để hiểu thêm về lý thuyết và cách giải các bài tập phương trình của một đường trong không gianMời các bạn theo dõi bài viết dưới đây của hkmobile.vn nhé!

>>> Xem thêm: Lý thuyết Toán 10 Phương trình đường tròn

Lý thuyết về phương trình của đường thẳng trong không gian

Phương trình tham số của một đường trong không gian

Trong không gian, ta có đường thẳng đi qua điểm M (x; y; z) với vectơ hướng = (a; b; c) có phương trình tham số sau:

\begin{cases}
x=x_0+at\\
y=y_0+bt\\
z=z_0+ ct
\end{cases}(t\in \R)

trong đó t được gọi là tham số.

>>> Xem thêm: Lý thuyết Toán 10 Phương trình đoạn thẳng

Phương trình chính tắc của một đường trong không gian

Nếu cả 3 số a, b, c đều khác 0 thì ta có thể viết phương trình trên dưới dạng chính tắc:

\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\ (a,b,c \not=0)

Vị trí tương đối giữa 2 dòng

Đối với đường thẳng d đi qua một điểm của Hoa Kỳ(x; y; z) và vectơ chỉ phương của nó là = (a; b; c). Đồng thời, dòng d_{Đầu tiên} đi qua điểm Hoa Kỳ_{Đầu tiên}(x_{Đầu tiên}; y_{Đầu tiên}; z_{Đầu tiên}) và có một vectơ chỉ hướng _{Đầu tiên}= (a_{Đầu tiên}; b_{Đầu tiên}; c_{Đầu tiên}). Sau đó chúng tôi có:

\begin{aligned}
&\small\text{Cho đường thẳng }d_0 \text{ đi qua một điểm }M_0(x_0; y_0; z_0) \text{ và có vectơ chỉ phương là }\vec{u_0}=(a_0; b_0; c_0). \\
&\small\text{Đồng thời, đường thẳng }d_1 \text{ đi qua điểm }M_1(x_1; y_1; z_1) \text{ và có vectơ chỉ phương }\vec{u_1}= (a_1; b_1; c_1).\\
&\small\text{Khi đó ta có: }\\
&\small \circ d_0 \text{ và } d_1 \text{ nằm trong một mặt phẳng ⇔ }[\vec{u_0},\vec{u_1}]. \overrightarrow{M_0M_1}=0\\
&\small\circ d_0 \text{ và } d_1 \text{ sẽ cắt nhau ⇔ }\begin{cases} [\vec{u_0},\vec{u_1}]. \overrightarrow{M_0M_1}=0 \\ [\vec{u_0},\vec{u_1}]\not=0\end{cases}\\
&\small\circ d_0\ ⊥\ d_1 ⇔ \vec{u_0}.\vec{u_1}=\vec{0}\\
&\small\circ d_0 \ //\  d_1 ⇔ \begin{cases}[\vec{u_0},{u_1}]=\vec{0} \\ [\vec{u_0}.\overrightarrow{M_0.M_1} \not=0\end{cases}\\
&\small\circ d_0 \equiv  d_1 ⇔[\vec{u_o},\vec{u_1}]=[\vec{u_0},\overrightarrow{M_0M_1}]=\vec{0}\\
&\small\circ d_0 \text{ và } d_1 \text{ chéo nhau ⇔ }[\vec{u_0},\vec{u_1}]. \overrightarrow{M_0M_1}\not=0\\
\end{aligned}

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

\begin{aligned}
&\small\text{Khi đường thẳng d đi qua điểm }M_0 (x_0; y_0; z_0) \text{ và có vectơ chỉ phương }\vec{u}= (a; b; c). \text{ Bên cạnh đó, ta}\\
&\small\text{có mặt phẳng }(P) = Ax + By + Cz + D = 0 \text{ có vectơ pháp tuyến } \vec{n}= (A; B; C). \text{ Khi đó ta có: }\\
&\small \circ d \text{ cắt } (P) ⇔ Aa+Bb+Cc\not=0\\
&\small\circ d \ //\  (P) ⇔ \begin{cases} Aa+Bb+Cc=0\\Ax_0+By_0+Cz_0+D\not=0 \end{cases}\\
&\small\circ d\sub (P) ⇔ \begin{cases} Aa+Bb+Cc=0\\Ax_0+By_0+Cz_0+D=0 \end{cases}\\
&\small\circ d\  ⊥\  (P) ⇔ \vec{u}\text{ // }\vec{n} ⇔ [\vec{u},\vec{n}]=\vec{0}
\end{aligned}

Góc giữa hai đường

\begin{aligned}
&\small\text{Đường thẳng d có vectơ chỉ phương }\vec{u}= (a; b; c). \text{ Đồng thời đường thẳng d' có vectơ chỉ phương }\\
&\small\vec{u'}= (a’; b’; c’). \text{ Gọi }0^\text{o} ≤ α ≤ 90^\text{o} \text{ là góc giữa 2 đường thẳng đó, chúng ta có:}\\
&cosα=\frac{|\vec{u}.\vec{u'}|}{|\vec{u}|.|\vec{u'}|}=\frac{|aa'+bb'+cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}
\end{aligned}

Các dạng toán của phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm

\small \text{Ta có điểm }M_0 (x_0; y_0; z_0) \text{và có vectơ chỉ phương }\vec{u_0} = (a; b; c)

Phương pháp giải quyết:

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Phương trình tham số của đường thằng (d) là: }\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct \end{cases}\ (t\in \R)\\
&\small\bull\text{Nếu }a.b.c\not=0\text{ thì đường thẳng (d) sẽ có phương trình chính tắc là: }\\
&\ \ \ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\ (a,b,c\not=0)
\end{aligned}

Ví dụ:

Tích vô hướng của hai vectơ: Lý thuyết và Giải quyết vấn đề

Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A (1; 2; -1) và có vectơ chỉ phương là:

\vec{u}=(1;2;3)

Hướng dẫn giải pháp:

\small \text{Ta có phương trình tham số của đường thẳng (d) là: }\begin{cases}x=1+t\\
y=2+2t\\
z=-1+3t\end{cases}

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Khi viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B. Bạn sẽ giải bài tập theo 2 bước cơ bản như sau:

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương }\overrightarrow{AB}\\
&\small\bull\text{Bước 2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và nhận }\overrightarrow{AB}\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\
\end{aligned}

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm A (1; 2; 0), B (-1; 1; 3)

Hướng dẫn giải pháp:

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Ta có: }\overrightarrow{AB}(-2;1;3)\\
&\small\bull\text{Phương trình đường thẳng (d) đi qua A có vectơ chỉ phương  được phương trình tham số như sau: }\\
&\small\ \begin{cases} x=1-2t\\y=2-t\\z=3t \end{cases}
\end{aligned}

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng d

Các bước viết phương trình của đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng d:

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương }\vec{u} \text{ của đường thẳng (d).}\\
&\small\bull\text{Bước 2: Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua điểm đã cho và nhận } \vec{u}\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\
\end{aligned}

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A (2; 1; -3) và song song với đường thẳng d có phương trình là:

\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z}{1}

Hướng dẫn giải pháp:

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Vì (d’) // (d) nên nhận }\vec{u_d}=(2;4;1)\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\
&\small\bull\text{Ta được phương trình tham số của (d'): }\begin{cases}x=2+2t\\y=1+4t\\z=-3+t \end{cases}
\end{aligned}

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với mặt phẳng P

Khi đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với mặt phẳng P, ta có thể viết phương trình của đường thẳng theo các bước sau:

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương }\vec{n} \text{ của mặt phẳng (P).}\\
&\small\bull\text{Bước 2: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm đã cho và nhận } \vec{n}\text{ làm vectơ chỉ phương.}\\
\end{aligned}

Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A (1; 1; -2) và vuông góc với mặt phẳng (P): x – y – z – 1 = 0.

Lý thuyết Toán 10 Phương trình đường tròn

Hướng dẫn giải pháp:

\begin{aligned}
&\small\bull\text{Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là }\vec{n}=(1;-1;-1)\text{ đồng thời là vectơ chỉ phương của }\\
&\small\text{ đường thẳng (d)}\\
&\small\bull\text{Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và nhận } \vec{n} \text{ làm vectơ chỉ phương có phương trình}\\
&\small\text{tham số như sau:} \begin{cases}x=1+t\\y=1-t\\z=-2-t\end{cases}\\

\end{aligned}

Dạng 5: Xác định vị trí tương đối giữa đoạn thẳng và đoạn thẳng trong không gian

Ví dụ: Xác định vị trí tương đối giữa hai đường

d:\begin{cases}x=-t\\y=3t\\z=-1-2t\end{cases} \ ;\ d':\begin{cases}x=0\\y=9\\z=5t\end{cases}

Hướng dẫn giải pháp:

\begin{aligned}
&\small\text{Đường thẳng d đi qua }M_0(0; 0; -1) \text{ và có vectơ chỉ phương là } \vec{u_d}=(-1;3;-2)\\
&\small\text{Đường thẳng d' đi qua }M'_0(0; 9; 0) \text{ và có vectơ chỉ phương là } \vec{u_d'}=(0;0;5)\\
&\small \Rightarrow\overrightarrow{M_0M'_0}=(0;9;1) \text{ và }[\vec{u_d}.\vec{u_d'}]=(15;5;0)\not=0\\
&\small\text{Ta có: }[\vec{u_d}.\vec{u_d'}].\overrightarrow{M_0M'_0}=15.0+9.5+1.0=45\not=0\\
&\small\text{Vậy d và d' chéo nhau.}
\end{aligned}

Dạng 6: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Ví dụ:

Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0 và đường thẳng

d:\begin{cases}x=1+2t\\y=2+4t\\z=3+t\end{cases}

Hướng dẫn giải pháp:

\begin{aligned}
&\small\text{Đường thẳng D đi qua }M_0(1;2;3)\text{ và có vectơ chỉ phương }\vec{u}=(2;4;1)\\
&\small\text{Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là: } \vec{n}=(1;1;1)\\
&\small\text{Ta có: }\vec{n}.\vec{u}=2+4+1=7\not=0\\
&\small\text{Vậy d cắt (P).}
\end{aligned}

Dạng 7: Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

Phương pháp giải quyết:

Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian bằng hoặc phụ với góc giữa hai vectơ của hai đường thẳng. Vì vậy, để tính góc của hai đường chéo, ta sử dụng công thức sau:

cos\varphi=|cos(\vec{u_1},\vec{u_2})|=\frac{|\vec{u_1}.\vec{u_2}|}{|\vec{u_1}|.|\vec{u_2}|}

Ví dụ:

Tính góc giữa 2 đường thẳng

\Delta_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z}{2}\ ;\  \Delta_2:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{-1}

Hướng dẫn giải pháp:

\begin{aligned}
&\small\text{Vectơ chỉ phương của }\Delta_1 \text{ là }\vec{u_1}=(2;-1;2)\\
&\small\text{Vectơ chỉ phương của }\Delta_2 \text{ là }\vec{u_2}=(2;2;-1)\\
&\small\text{Gọi }\varphi \text{ là góc giữa hai đường thẳng }\Delta_1 \text{ và } \Delta_2,\text{ ta có:}\\
&cos\varphi=|cos(\vec{u_1},\vec{u_2})|=\frac{|\vec{u_1}.\vec{u_2}|}{|\vec{u_1}|.|\vec{u_2}|}=0 \Rightarrow \varphi=90^\text{o}
\end{aligned}

Dạng 8: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Phương pháp giải quyết:

\begin{aligned}
&\small\text{Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là }\vec{u}(a,b,c).\\
&\small\text{Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là }\vec{n}(A,B,C).\\
&\small\text{Góc }\varphi\text{ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng P.}\\
&\small\text{Ta có công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian như sau:}\\
&\small sin\varphi=\frac{|\vec{u}.\vec{n}|}{|\vec{u}|.|\vec{n}|}=\frac{|Aa+Bb+Cc|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
\end{aligned}

Ví dụ:

Tiin1h sin góc giữa mặt phẳng (P): 2x – y + 2z -1 = 0 và đường thẳng d có phương trình tham số là:

d: \begin{cases}x=1+2t\\y=-1+3t\\z=2-t \end{cases}

Hướng dẫn giải pháp:

\begin{aligned}
&\small\text{Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là: }\vec{u_d}=(2;3;-1)\\
&\small\text{Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: }\overrightarrow{n_{(P)}}=(2;-1;-2)\\
&\small\text{Sin góc giữa d và (P) là:}\\
&\small sin(d;(P))=\frac{|\vec{u_d}.\overrightarrow{n_{(P)}}|}{|\vec{u_d}|.|\overrightarrow{n_{(P)}}|}=\frac{|4-3-2|}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}.\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt{14}.3}=\frac{\sqrt{14}}{42}
\end{aligned}

Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại hkmobile.vn

Giáo dục hkmobile.vn là Nền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất tại Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, hkmobile.vn sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.

Phương trình đưa về phương trình bậc nhất và bậc hai – Lý thuyết Toán 10

Tại hkmobile.vn, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến ​​thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Giáo dục hkmobile.vn cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.

Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu và nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của hkmobile.vn luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học tập livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học viên của hkmobile.vn, bạn cũng sẽ nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và kỹ lưỡng giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến ​​thức dễ dàng hơn.

hkmobile.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, hkmobile.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại hkmobile.vn ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Trên đây là chia sẻ của đội hkmobile.vn về những kiến ​​thức cơ bản của phương trình của một đường trong không gian và các bài tập thông thường. Việc ôn tập và ghi chép lại những nội dung quan trọng sẽ giúp các em học môn Toán hiệu quả và tự tin hơn. Chúc các bạn học tốt và gặt hái được nhiều thành công hơn nữa trong trường!

Nhớ để nguồn: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian: Lý Thuyết và Bài Tập