Phương trình lượng giác cơ bản là một kiến thức quan trọng mà bạn cần nắm vững chương trình môn Toánối 11. Đây là nền tảng cần thiết giúp các em giải nhanh và chính xác các bài toán về phương trình lượng giác. Trong bài viết này, hkmobile.vn sẽ cung cấp cho bạn một số kiến thức lý thuyết cũng như lời giải chi tiết phương trình lượng giác cơ bản.
>>> Xem thêm: Hàm số lượng giác – Các công thức và lý thuyết lượng giác đầy đủ nhất
Phương trình lượng giác cơ bản
Phương trình sin x = sin α, sin x = a (1)
- Nếu | a |> 1 thì phương trình vô nghiệm
- Nếu | a | ≤1 thì chọn cung α sao cho sinα = a. Sau đó (1)
\begin{aligned}
&\bull Sin x = sin α ⇔ x = α + k2π \text{ hoặc x } = π - α + k2π, \text{ với } k ∈ Z\\
&\bull Sin x = a, \text{ điều kiện: }-1 ≤ a ≤ 1\\
&\ \ \ \ Sin x = a ⇔ x = arcsin a + k2π \text{ hoặc } x = π\ –\ arcsin a + k2π, \text{ với }k ∈ Z\\
&\bull Sin u = - sin v ⇔ sin u = sin (-v)\\
&\bull Sin u = cos v ⇔ sin u = sin \left(\frac{π}{2}\ –\ v\right)\\
&\bull Sin u = - cos v ⇔ sin u = sin \left(v\ –\ \frac{π}{2}\right)
\end{aligned}
Các trường hợp đặc biệt:
- sin x = 0 x = kπ (k ∈ Z)
- sin x = 1 x = / 2 + k2π (k ∈ Z)
- sin x = -1 x = -π / 2 + k2π (k ∈ Z)
- sin x = ± 1 ⇔ sin x = 1 ⇔ cos x = 0 ⇔ cosx = 0 ⇔ x = π / 2 + kπ (k ∈ Z)
Phương trình cos x = cos α, cos x = a (2)
- Nếu | a |> 1 thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu | a | ≤1 thì chọn cung α sao cho cosα = a.
Khi đó (2) ⇔ cosx = cosα ⇔ x = ± α + k2π (k ∈ Z)
b. cosx = a điều kiện -1 a ≤ 1
cosx = a ⇔ x = ± arccosa + k2π (k Z)
Lý thuyết Toán 10 Dấu của nhị thức bậc nhất và bài tập luyện tập
c. cosu = cosv ⇔ cosu = cos (- v)
d. cosu = sinv ⇔ cosu = cos (π / 2 – v)
e. cosu = – sinv ⇔ cosu = cos (π / 2 + v)
Trường hợp đặc biệt
Phương trình tan x = tan α, tan x = a (3)
Chọn cung α sao cho tanα = a. Sau đó (3)
Trường hợp đặc biệt
- tanx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
- tanx = ± 1 ⇔ x = ± / 4 + kπ (k Z)
Phương trình cot x = cot α, cot x = a (4)
Khi đó (3) cotx = cotα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)
cotx = a ⇔ x = arccota + kπ (k Z)
Các trường hợp đặc biệt:
- cotx = 0 ⇔ x = / 2 + kπ (k ∈ Z)
- cotx = ± 1 ⇔ x = ± / 4 + kπ (k Z)
Phương trình bậc nhất cho một hàm lượng giác
Asinx dạng + b; acosx + b = 0; atanx + b = 0; acotx + b = 0 (a, b Ζ, a ≠ 0)
Dung dịch:
Quay lại phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 sinx = -b / a
Phương trình bậc hai cho một hàm lượng giác
Dạng asin x + bsinx + c = 0 (a, b ∈ Ζ, a 0)
Phương pháp
Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc hai cho t.
Ví dụ: Giải phương trình asin x + bsinx + c = 0
Đặt t = sinx (-1≤ t ≤1) ta có phương trình tại + bt + c = 0
Lưu ý rằng khi đặt t = sinx hoặc t = cosx thì điều kiện phải là -1≤ t ≤1
Một số điều cần chú ý
- a) Khi giải các phương trình có chứa tiếp tuyến, hàm phương, mẫu số hoặc hàm căn,
bậc chẵn thì cần đặt điều kiện để phương trình xác định
b) Khi tìm ra giải pháp thì phải kiểm tra điều kiện. Chúng tôi thường sử dụng một trong những cách
sau đây để kiểm tra tình trạng:
Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.
Sử dụng các đường tròn lượng giác để biểu diễn các giải pháp
Giải phương trình vô nghiệm.
c) Sử dụng MTCT để thử lại các câu trả lời trắc nghiệm
Các dạng bài tập về phương trình lượng giác
Giải các phương trình lượng giác cơ bản
Phương pháp: Sử dụng các công thức giải tương ứng với mỗi phương trình
Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác sau:
- a) sinx = sin (π / 6). c) tanx – 1 = 0
- b) 2cosx = 1. d) cotx = tan2x.
Câu trả lời
- a) sinx = sinπ / 6
- b) 2cosx = 1 ⇔ cosx = ½ ⇔ x = ± π / 3 + k2π (k ∈ Z)
- c) tanx = 1 cosx = / 4 + kπ (k Z)
- d) cotx = tan2x
⇔cotx = cot (π / 2 – 2x)
⇔ x = / 2 – 2x + kπ
x = / 6 + kπ / 3 (k ∈ Z)
Ví dụ 2: Giải các phương trình lượng giác sau:
- a) cos2 x – sin2x = 0.
- b) 2sin (2x – 40º) = 3
Giải quyết bất bình đẳng bằng dấu giá trị tuyệt đối
Câu trả lời
- a) cos x – sin x = 0 ⇔ cos x – 2sinx.cosx = 0
⇔ cosx (cosx – 2sinx) = 0
b) 2 sin (2x-40º) = √3
⇔ sin (2x-40º) = √3 / 2
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: (√3-1) sinx = 2sin2x.
Phương trình bậc nhất có hàm lượng giác
Phương pháp: Quay lại phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 ⇔ sinx = -b / a
Ví dụ: Giải phương trình sau:
Phương trình bậc hai có một hàm số lượng giác
Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác là một phương trình có dạng:
af (x) + bf (x) + c = 0 trong đó f (x) = sinu (x) hoặc f (x) = cosu (x), tanu (x), cotu (x).
Dung dịch:
Đặt t = f (x) ta có phương trình: at + bt + c = 0
Giải phương trình này ta được t, từ đó ta tìm được x
Khi đặt t = sinu (x) hoặc t = cosu (x), ta có điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1
Ví dụ: sin x + 2sinx – 3 = 0
Ví dụ 2: 1 + sin2x + cosx + sinx = 0
Câu trả lời:
⇔ 1 + 2 sinx cosx + 2 (cosx + sinx) = 0
⇔ cos2x + sin2x + 2 sinxcosx + 2 (cosx + sinx) = 0
⇔ (sinx + cosx) 2 + 2 (cosx + sinx) = 0
Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx
Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) trong đó a và b là các số thực khác không.
Ví dụ: Giải phương trình sau: cos x – sin2x = 0.
Phương trình lượng giác đối xứng và phản đối xứng
Phương pháp
Phương trình đối xứng là phương trình có dạng:
a (sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (3)
Phương pháp giải quyết:
Để giải phương trình trên, chúng ta sử dụng phép cấy con:
Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.
Chúng ta cũng có một phương trình phản đối xứng có dạng:
a (sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4)
Để giải phương trình này, chúng tôi cũng đặt
Thay vào (4) ta được một phương trình bậc hai theo t.
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2 (sinx + cosx) + 3sin2x = 2.
>>> Xem thêm: Một số phương trình lượng giác thường gặp – Lý thuyết Toán 11
Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại hkmobile.vn
Giáo dục hkmobile.vn là Nền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, hkmobile.vn sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.
Tại hkmobile.vn, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.
Nguyên hàm của các hàm lượng giác
Giáo dục hkmobile.vn cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.
Với ứng dụng tích hợp nền tảng công nghệ và thông tin dữ liệu, mỗi lớp học của hkmobile.vn luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định với tính năng chống giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.
Nhờ nền tảng học tập livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.
Khi trở thành học sinh của hkmobile.vn, bạn cũng nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và sắp xếp hợp lý giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn.
hkmobile.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, hkmobile.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại hkmobile.vn ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.
Lý thuyết cũng như giải pháp phương trình lượng giác cơ bản vừa được Team hkmobile.vn tổng hợp và chia sẻ với các em trên đây. Hi vọng những kiến thức bổ ích này có thể giúp các em có thêm hành trang để tiếp tục hành trình chinh phục Toán học. Chúc các bạn học tập đạt kết quả cao và đạt được nhiều thành tích tốt!
Nhớ để nguồn: Phương trình lượng giác cơ bản và các dạng bài tập có lời giải