Phương trình lượng giác cơ bản và các dạng bài tập có lời giải

Phương trình lượng giác cơ bản là một kiến ​​thức quan trọng mà bạn cần nắm vững chương trình môn Toánối 11. Đây là nền tảng cần thiết giúp các em giải nhanh và chính xác các bài toán về phương trình lượng giác. Trong bài viết này, hkmobile.vn sẽ cung cấp cho bạn một số kiến ​​thức lý thuyết cũng như lời giải chi tiết phương trình lượng giác cơ bản.

>>> Xem thêm: Hàm số lượng giác – Các công thức và lý thuyết lượng giác đầy đủ nhất

Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản (Nguồn: Internet)

Phương trình sin x = sin α, sin x = a (1)

  • Nếu | a |> 1 thì phương trình vô nghiệm
  • Nếu | a | ≤1 thì chọn cung α sao cho sinα = a. Sau đó (1)
\begin{aligned}
&\bull Sin x = sin α ⇔ x = α + k2π \text{ hoặc x } = π - α + k2π, \text{ với } k ∈ Z\\
&\bull Sin x = a, \text{ điều kiện: }-1 ≤ a ≤ 1\\
&\ \ \ \ Sin x = a ⇔ x = arcsin a + k2π \text{ hoặc } x = π\ –\ arcsin a + k2π, \text{ với }k ∈ Z\\
&\bull Sin u = - sin v ⇔ sin u = sin (-v)\\
&\bull Sin u = cos v ⇔ sin u = sin \left(\frac{π}{2}\ –\ v\right)\\
&\bull Sin u = - cos v ⇔ sin u = sin \left(v\ –\ \frac{π}{2}\right)
\end{aligned}

Các trường hợp đặc biệt:

  • sin x = 0 x = kπ (k ∈ Z)
  • sin x = 1 x = / 2 + k2π (k ∈ Z)
  • sin x = -1 x = -π / 2 + k2π (k ∈ Z)
  • sin x = ± 1 ⇔ sin x = 1 ⇔ cos x = 0 ⇔ cosx = 0 ⇔ x = π / 2 + kπ (k ∈ Z)

Phương trình cos x = cos α, cos x = a (2)

  • Nếu | a |> 1 thì phương trình vô nghiệm.
  • Nếu | a | ≤1 thì chọn cung α sao cho cosα = a.

Khi đó (2) ⇔ cosx = cosα ⇔ x = ± α + k2π (k ∈ Z)

b. cosx = a điều kiện -1 a ≤ 1

cosx = a ⇔ x = ± arccosa + k2π (k Z)

Lý thuyết Toán 10 Dấu của nhị thức bậc nhất và bài tập luyện tập

c. cosu = cosv ⇔ cosu = cos (- v)

d. cosu = sinv ⇔ cosu = cos (π / 2 – v)

e. cosu = – sinv ⇔ cosu = cos (π / 2 + v)

Trường hợp đặc biệt

Các dạng phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

Phương trình tan x = tan α, tan x = a (3)

Chọn cung α sao cho tanα = a. Sau đó (3)

Giải phương trình lượng giác

Trường hợp đặc biệt

  • tanx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
  • tanx = ± 1 ⇔ x = ± / 4 + kπ (k Z)

Phương trình cot x = cot α, cot x = a (4)

Khi đó (3) cotx = cotα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)

cotx = a ⇔ x = arccota + kπ (k Z)

Các trường hợp đặc biệt:

  • cotx = 0 ⇔ x = / 2 + kπ (k ∈ Z)
  • cotx = ± 1 ⇔ x = ± / 4 + kπ (k Z)
Xem thêm bài viết hay:  Đáp án đề thi tốt nghiệp THPT 2021 môn Ngữ Văn

Phương trình bậc nhất cho một hàm lượng giác

Asinx dạng + b; acosx + b = 0; atanx + b = 0; acotx + b = 0 (a, b Ζ, a ≠ 0)

Dung dịch:

Quay lại phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 sinx = -b / a

Phương trình bậc hai cho một hàm lượng giác

Dạng asin x + bsinx + c = 0 (a, b ∈ Ζ, a 0)

Phương pháp

Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc hai cho t.

Ví dụ: Giải phương trình asin x + bsinx + c = 0

Đặt t = sinx (-1≤ t ≤1) ta có phương trình tại + bt + c = 0

Lưu ý rằng khi đặt t = sinx hoặc t = cosx thì điều kiện phải là -1≤ t ≤1

Một số điều cần chú ý

  1. a) Khi giải các phương trình có chứa tiếp tuyến, hàm phương, mẫu số hoặc hàm căn,

bậc chẵn thì cần đặt điều kiện để phương trình xác định

phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

b) Khi tìm ra giải pháp thì phải kiểm tra điều kiện. Chúng tôi thường sử dụng một trong những cách

sau đây để kiểm tra tình trạng:

Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.

Sử dụng các đường tròn lượng giác để biểu diễn các giải pháp

Giải phương trình vô nghiệm.

c) Sử dụng MTCT để thử lại các câu trả lời trắc nghiệm

Các dạng bài tập về phương trình lượng giác

Giải các phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp: Sử dụng các công thức giải tương ứng với mỗi phương trình

Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

  1. a) sinx = sin (π / 6). c) tanx – 1 = 0
  2. b) 2cosx = 1. d) cotx = tan2x.

Câu trả lời

  1. a) sinx = sinπ / 6

lượng giác pt

  1. b) 2cosx = 1 ⇔ cosx = ½ ⇔ x = ± π / 3 + k2π (k ∈ Z)
  2. c) tanx = 1 cosx = / 4 + kπ (k Z)
  3. d) cotx = tan2x

⇔cotx = cot (π / 2 – 2x)

⇔ x = / 2 – 2x + kπ

x = / 6 + kπ / 3 (k ∈ Z)

Ví dụ 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

  1. a) cos2 x – sin2x = 0.
  2. b) 2sin (2x – 40º) = 3

Giải quyết bất bình đẳng bằng dấu giá trị tuyệt đối

Câu trả lời

  1. a) cos x – sin x = 0 ⇔ cos x – 2sinx.cosx = 0

⇔ cosx (cosx – 2sinx) = 0

phương trình lượng giác cơ bản

b) 2 sin (2x-40º) = √3

⇔ sin (2x-40º) = √3 / 2

giải toán lượng giác

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: (√3-1) sinx = 2sin2x.

một số phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình bậc nhất có hàm lượng giác

Phương pháp: Quay lại phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 ⇔ sinx = -b / a

Ví dụ: Giải phương trình sau:

Xem thêm bài viết hay:  Cách làm bánh trung thu mè đen dẻo thơm, giàu dinh dưỡng

phương trình lượng giác cơ bản 11

Phương trình bậc hai có một hàm số lượng giác

Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác là một phương trình có dạng:

af (x) + bf (x) + c = 0 trong đó f (x) = sinu (x) hoặc f (x) = cosu (x), tanu (x), cotu (x).

Dung dịch:

Đặt t = f (x) ta có phương trình: at + bt + c = 0

Giải phương trình này ta được t, từ đó ta tìm được x

Khi đặt t = sinu (x) hoặc t = cosu (x), ta có điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1

Ví dụ: sin x + 2sinx – 3 = 0

giải phương trình lượng giác lớp 11

Ví dụ 2: 1 + sin2x + cosx + sinx = 0

Câu trả lời:

⇔ 1 + 2 sinx cosx + 2 (cosx + sinx) = 0

⇔ cos2x + sin2x + 2 sinxcosx + 2 (cosx + sinx) = 0

⇔ (sinx + cosx) 2 + 2 (cosx + sinx) = 0

phương trình lượng giác cơ bản 11

Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) trong đó a và b là các số thực khác không.

giai đoạn của quá trình

Ví dụ: Giải phương trình sau: cos x – sin2x = 0.

ptlg

Phương trình lượng giác đối xứng và phản đối xứng

Phương pháp

Phương trình đối xứng là phương trình có dạng:

a (sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (3)

Phương pháp giải quyết:

Để giải phương trình trên, chúng ta sử dụng phép cấy con:

phương trình lượng giác

Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.

Chúng ta cũng có một phương trình phản đối xứng có dạng:

a (sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4)

Để giải phương trình này, chúng tôi cũng đặt

Các dạng phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

Thay vào (4) ta được một phương trình bậc hai theo t.

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2 (sinx + cosx) + 3sin2x = 2.

Giải phương trình lượng giác

>>> Xem thêm: Một số phương trình lượng giác thường gặp – Lý thuyết Toán 11

Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại hkmobile.vn

Giáo dục hkmobile.vnNền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, hkmobile.vn sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu.

Tại hkmobile.vn, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến ​​thức một cách nhanh chóng và dễ dàng.

Xem thêm bài viết hay:  Văn mẫu lớp 9 hay: thuyết minh cây dừa

Nguyên hàm của các hàm lượng giác

Giáo dục hkmobile.vn cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em.

Với ứng dụng tích hợp nền tảng công nghệ và thông tin dữ liệu, mỗi lớp học của hkmobile.vn luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định với tính năng chống giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất.

Nhờ nền tảng học tập livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường.

Khi trở thành học sinh của hkmobile.vn, bạn cũng nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và sắp xếp hợp lý giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến ​​thức dễ dàng hơn.

hkmobile.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, hkmobile.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại hkmobile.vn ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.

Lý thuyết cũng như giải pháp phương trình lượng giác cơ bản vừa được Team hkmobile.vn tổng hợp và chia sẻ với các em trên đây. Hi vọng những kiến ​​thức bổ ích này có thể giúp các em có thêm hành trang để tiếp tục hành trình chinh phục Toán học. Chúc các bạn học tập đạt kết quả cao và đạt được nhiều thành tích tốt!

Nhớ để nguồn: Phương trình lượng giác cơ bản và các dạng bài tập có lời giải

Viết một bình luận