Tích phân rộng là một trong những kiến thức toán nâng cao thuộc chương trình Toán 12. Đây là lý thuyết quan trọng đối với sinh viên học chuyên ngành Toán khi lên đại học. Để hiểu thêm về khái niệm và phương pháp tính tích phân rộngMời các bạn theo dõi bài tổng hợp được tổng hợp từ hkmobile.vn dưới đây.
>>> Xem thêm:
- Các dạng toán về tích phân ngầm và phương pháp giải chi tiết
- Tích phân từng phần là gì? Công thức và lời giải của các dạng bài tập
Định nghĩa một tích phân rộng
Tích phân rộng là giới hạn của một tích phân xác định khi tích phân tiến tới vô cùng. Tích phân rộng gồm 2 loại: tích phân với gần vô hạn (gọi là tích phân rộng loại 1) và tích phân của hàm không bị giới hạn (tích phân rộng loại 2).
Các tính chất của tích phân tổng quát
1. f tích hợp trên [a; b] ∀b ≥ a. Khi đó, α ≥ a.
\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và } \intop_α^{+\infin}f(x)dx \text{ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (Cùng bản chất)}
2. f tích hợp trên [a; b], ∀b ≥ a. Khi đó, α 0.
\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và } \intop_a^{+\infin}αf(x)dx \text{ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ (Cùng bản chất)}\\
3. f, g tích hợp trên [a; b]ba.
\begin{aligned}
&\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx\text{ và }\intop_a^{+\infin}g(x)f(x)dx \text{ hội tụ}\Rightarrow \intop_a^{+\infin}(f+g)dx \text{ hội tụ}\\
&\footnotesize \intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ hội tụ và }\intop_a^{+\infin}g(x)f(x)dx \text{ phân kỳ} \Rightarrow \intop_a^{+\infin}(f+g)dx \text{ phân kỳ}
\end{aligned}
Điều kiện để tích phân suy rộng hội tụ
Mỗi loại tích phân rộng Sẽ có các điều kiện hội tụ riêng biệt, cụ thể như sau:
Định lý so sánh 1
Điều kiện hội tụ của tích phân rộng Loại 1 được biểu diễn như sau:
Định nghĩa:
Giả sử f (x) được xác định trên tập [a;+∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn a ≤ x ≤ b < +∞
- Nếu tồn tại giới hạn (có thể là hữu hạn hoặc vô cùng) thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên [a;+∞).
\lim\limits_{b\to +\infin}\intop_a^bf(x)dx:=\intop_a^{+\infin}f(x)dx
\begin{aligned}
&\footnotesize\bull \text{Nếu giới hạn này là hữu hạn, ta suy ra} \textbf{ tích phân suy rộng}\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ là hội tụ.}\\
&\footnotesize\bull \text{Nếu giới hạn này là vô cùng hoặc không tồn tại, ta suy ra}\textbf{ tích phân suy rộng}\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ là phân kỳ.}
\end{aligned}
Tương tự, định nghĩa tích phân suy rộng của hàm số f(x) không bị chặn trên khoảng (a,b] và (a, b) sẽ lấy x = a và x = b tương ứng là các giá trị ngoại lệ.
\begin{aligned}
&\intop_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to a^+}\intop^b_tf(x)dx \text{ và }\intop_a^bf(x)dx=\lim\limits_{t\to a^+,\ t'\to b^-}\intop_t^{t'}f(x)dx
\end{aligned}
Đối với tích phân có hai ngoại số x = a, x = b, ta có thể viết như sau khi hai trong ba tích phân trên cùng hội tụ:
\intop_a^bf(x)dx=\intop_a^cf(x)dx+\intop_c^bf(x)dx
Định lý (tiêu chuẩn so sánh):
Một số phương trình lượng giác thường gặp – Lý thuyết Toán 11
Cho hai hàm g (x) và f (x) không âm và tích phân trên [a,t] với mọi t> a. Giả sử tồn tại số M sao cho f (x) ≤ g (x) với mọi x> M. Khi đó:
\begin{aligned}
&\footnotesize \text{Nếu }\intop_a^{-\infin}g(x)dx \text{ hội tụ thì }\intop_a^{+\infin}f(x)\text{ hội tụ.}\\
&\footnotesize \text{Nếu }\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ phân kỳ thì }\intop_a^{-\infin}g(x)\text{ phân kỳ.}
\end{aligned}
Hệ quả:
Gọi f (x) và g (x) là hai hàm số đồng biến trên [a,t] với mọi t> a. Giả sử:
\lim\limits_{x\to +\infin}\frac{f(x)}{g(x)}=k
\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu } 0< k < +\infin \text{ thì }\intop_a^{+\infin}f(x)dx \text{ và} \intop_a^{-\infin}g(x)dx \text{ sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.}\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=0 \text{ thì tồn tại M sao cho }f(x) \le c.g(x), \forall x \ge M \text{ (giống với định lý)}.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=+\infin \text{ thì tồn tại M sao cho } f(x) \ge c.g(x), \forall x \ge M \text{ (ngược với định lý)}.
\end{aligned}
Định lý so sánh 2
Điều kiện hội tụ của tích phân rộng loại 2:
Định nghĩa:
Để hàm số f (x) xác định trong khoảng [a,b] và ở trên [a,t]. Giả sử hàm số f (x) là hàm số xác định trên khoảng [a,b] và ở trên [a,t] với mọi a Định lý (tiêu chuẩn so sánh): Cho f (x) và g (x) là hai hàm không âm, tích phân trên [t; b] với mọi t ∈ (a; b](a là điểm bất thường) Giả sử tồn tại c ∈ (a; b]sao cho f (x) ≤ kg (x), ∀x ∈ (a; c]. tại đó: Hệ quả: Trong đó f (x) và g (x) là hai hàm số không âm và tích phân trên đoạn [t;b] với mọi t ∈ (a; b](trong đó a là ngoại số) Chúng ta giả sử: >>> Xem thêm: Lý thuyết Toán 12 Cực trị của hàm số và Phương pháp tìm cực trị Lý thuyết Cấp số nhân Toán 12 Định nghĩa và Bài tập minh họa Bây giờ có nhiều cách để tính toán tích phân rộng Sự khác biệt. Một trong những phép biến đổi thường được sử dụng nhất là phép biến đổi Laplace và Fourier. Biến đổi Laplace và biến đổi Fourier được hiển thị trong ví dụ sau: Dung dịch: Để giải bài toán này, ta áp dụng phép biến đổi Laplace hoặc Fourier cho cả hai vế và tìm nguyên hàm của tích phân vừa tìm được. Khai triển tích phân thành chuỗi thường được sử dụng trong các bài toán tích phân phức tạp. Việc lựa chọn chức năng để triển khai sẽ quyết định giải pháp có tối ưu hay không. Vì vậy, khi khai triển và hoán vị tích của tích phân ta cần chú ý xem các đối tượng thu được có đảm bảo tính đồng quy của tích phân hay không. Bạn có thể thấy rõ điều này trong ví dụ dưới đây: Dung dịch: Để giải quyết vấn đề phức tạp này, chúng ta cần áp dụng kỹ thuật khai triển chuỗi Taylor như sau: >>> Xem thêm: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số: Lý thuyết và cách tìm đường tiệm cận Giáo dục hkmobile.vn là Nền tảng học Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh trực tuyến uy tín và chất lượng nhất Việt Nam Dành cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 12. Với nội dung chương trình học bám sát khung chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo, hkmobile.vn sẽ giúp các em lấy lại hành trang, bứt phá về điểm số và nâng cao thành tích của mình. nghiên cứu. Lý thuyết Toán 10 Các giá trị lượng giác của một cung Tại hkmobile.vn, trẻ em sẽ được giảng dạy bởi các giáo viên từ TOP 1% giáo viên giỏi toàn quốc. Các giáo viên đều có trình độ Thạc sĩ trở lên với hơn 10 năm kinh nghiệm giảng dạy và có nhiều thành tích xuất sắc trong sự nghiệp giáo dục. Với phương pháp giảng dạy sáng tạo, dễ tiếp cận, giáo viên sẽ giúp học sinh tiếp thu kiến thức nhanh chóng và dễ dàng. Giáo dục hkmobile.vn cũng có sẵn Đội ngũ cố vấn học tập chuyên nghiệp luôn theo sát quá trình học tập của các em, hỗ trợ các em giải đáp mọi thắc mắc trong quá trình học và cá nhân hóa lộ trình học tập của các em. Với ứng dụng tích hợp thông tin dữ liệu và nền tảng công nghệ, mỗi lớp học của hkmobile.vn luôn được đảm bảo Đường truyền ổn định, hạn chế giật / lag tối đa với chất lượng hình ảnh và âm thanh tốt nhất. Nhờ nền tảng học tập livestream trực tuyến mô phỏng lớp học offline, học viên có thể tương tác trực tiếp với giáo viên dễ dàng như khi học tại trường. Khi trở thành học sinh của hkmobile.vn, bạn cũng nhận được Cẩm nang Toán – Lý – Hóa “siêu hay” Tổng hợp tất cả các công thức và nội dung khóa học được biên soạn cẩn thận, chi tiết và kỹ lưỡng giúp học sinh học tập và ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn. hkmobile.vn cam kết tăng 8+ hoặc ít nhất 3 điểm cho học sinh. Nếu bạn không đạt số điểm như cam kết, hkmobile.vn sẽ hoàn trả 100% học phí cho bạn. Hãy nhanh tay đăng ký livestream trực tuyến Toán – Lý – Hóa – Văn lớp 8 – 12 năm học 2022 – 2023 tại hkmobile.vn ngay hôm nay để hưởng mức học phí siêu ưu đãi lên đến 39%, giảm từ 699K chỉ còn 399K.\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu tồn tại } \lim\limits_{t\to b^-}\intop_a^tf(x)dx \text{ thì giới hạn đó được gọi là}\textbf{ tích phân suy rộng } \text{của hàm số }f(x) \text{ trong khoảng }\\
&\footnotesize \text{[a, b] và có ký hiệu là}\intop_a^bf(x)dx.\\
&\footnotesize \bull \text{Khi đó, ta cũng nói rằng tích phân hội tụ: }\intop_a^bf(x)dx:=\lim\limits_{t\to b^-}\intop_a^tf(x)dx.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu }f(a)=+\infin: \intop_a^bf(x)dx:=\lim\limits_{t\to a^+}\intop_t^bf(x)dx.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu }f(c)=+\infin\text{ (với }c\in (a;b)): \intop_a^bf(x)dx= \intop_a^cf(x)dx+\intop_c^bf(x)dx
\end{aligned}
\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu }\intop_a^bg(x)dx \text{ hội tụ thì }\intop_a^bf(x)dx \text{ hội tụ.}\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu }\intop_a^bf(x)dx \text{ phân kỳ thì }\intop_a^bg(x)dx \text{ phân kỳ.}\\
\end{aligned}
\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=k
\begin{aligned}
&\footnotesize \bull \text{Nếu } 0< k < +\infin \text{ thì }\intop_a^bf(x)dx \text{ và} \intop_a^bg(x)dx \text{ sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.}\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=0 \text{ thì tồn tại c ∈ (a;b] sao cho }f(x) \le k.g(x), \forall x ∈ (a;c]\text{ (giống với định lý)}.\\
&\footnotesize \bull \text{Nếu } k=+\infin \text{ thì tồn tại c ∈ (a;b] sao cho } f(x) \ge k.g(x), \forall x ∈ (a;c]\text{ (ngược với định lý)}.
\end{aligned}
Cách tính tích phân rộng
Biến đổi Laplace và biến đổi Fourier
\text{Tính: }I(x)=\intop_0^{\infin}\frac{1-cosxt}{t^2}dt
\begin{aligned}
&\bull \ L|I(x)|=\intop_0^\infin e^{-px}\left( \intop_0^\infin\frac{1-cosxt}{t^2}dt\right)dx\\
&=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}\left[ \intop_0^\infin e^{-px}(1-cosxt)dx\right]dt\\
&=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}L(1-cosxt)dt\\
&=\intop_0^\infin\frac{1}{t^2}\Bigg(\frac1p-\frac{p}{p^2+t^2}\Bigg)dt\\
&=\left.\frac{1}{p}arctg\frac{t}{p}\right|_{t=0}^\infin=\frac{\pi}{2p^2}\\
&\bull L^{-1}\Bigg[ \frac{\pi}{2p^2} \Bigg]=\frac{\pi}{2}x\\
&\text{Vậy }I(x)=\frac{\pi}{2}x
\end{aligned}
Khai triển tích phân dưới dạng một chuỗi
\text{Tính }I=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{e^{-t}-1}{t}dt\right)lnxdx
\begin{aligned}
&I=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{e^{-t}-1}{t}dt\right)lnxdx\\
&=\intop_0^\infin e^{-x}\left(\intop_0^x\frac{\sum\limits_{n=0}^\infin \frac{(-t)^n}{n!}-1}{t}dt\right)lnxdx\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n}{n!n}\intop_0^\infin e^{-x}\left( \intop_0^xt^{n-1}dt\right)lnxdx\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n}{n!n}\intop_0^\infin e^{-x}x^nlnxdx\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Gamma'(n+1)}{n!n}\\
&=\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Psi(n+1)}{n}\\
&\text{Trong đó: } \Gamma(x) \text{ và } \Psi(x) \text{ là các hàm Gamma và PolyGamma.}\\
&\sum_{n=1}^\infin\frac{(-1)^n \Psi(n+1)}{n}=\gamma ln2+\intop_0^1\frac{-ln2+ln(1+t)}{1-t}dt=\frac{1}{12}(-\pi^2+12\gamma ln2+6ln^22)\\
&\text{Trong đó: } \gamma \text{ là hằng số Euler - Mascheroni.}
\end{aligned}
Học trực tuyến livestream Toán – Lý – Hóa – Văn – Anh – Sinh để bứt phá điểm số 2022 – 2023 tại hkmobile.vn
Trên đây là những kiến thức liên quan đến tích phân rộng – một trong những kiến thức nâng cao cần biết trong chương trình toán THPT. Ngoài ra, đừng quên theo dõi trang web hkmobile.vn để cập nhật thêm nhiều kiến thức Toán – Lý – Hóa bổ ích. Chúc các bạn học tốt và luôn đạt điểm cao.
Nhớ để nguồn: Tích Phân Suy Rộng Là Gì? Cách Tính Tích Phân Suy Rộng